Составители:
Рубрика:
61
Решим задачу, воспользовавшись переходом к цилиндрическим координа-
там. В этих координатах уравнения поверхностей имеют вид:
3
,36
2
r
zrz =−=
.
Для координат точек, лежащих на пересечении полусферы и конуса, справед-
ливы соотношения:
r
2
= 3z
2
= 36 – z
2
. Отсюда z
= 3 (т.к. z
> 0).
Объем тела найдем, воспользовавшись формулой (3) из п. 5.2. и формулой
(5) перехода к цилиндрическим координатам. При этом учтем, что при
0 < z < 3
плоскость
z
= const пересекает конус по окружности радиуса 3z , ограничи-
вающей область
S
z
, а при 3 ≤ z < 6 плоскость z
= const пересекает сферу по
окружности радиуса
2
36 z− , ограничивающей область
z
S
′
. Поэтому в фор-
муле (3) тройной интеграл необходимо разбить на два слагаемых, одно из кото-
рых соответствует части тела, расположенной ниже плоскости
z
= 3, а другое –
выше этой плоскости:
(
)
36 323
03 000
2
62 36 3 6
22
30 0 0 3
22
33672.
22
zz
z
VSS
z
V dxdydz dz dxdy dz dxdy dz d rdr
dz d rdr z dz z dz
π
π
ϕ
ππ
ϕ
π
′
−
⎛⎞
⎜⎟
== + = +
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
+=⋅+⋅−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
Объем тела можно было подсчитать и другим способом: на основе форму-
лы (4) из п. 5.2. Действительно, пусть
D – область в плоскости OXY, ограни-
ченная окружностью
S, в которую проектируется линия пересечения конуса и
сферы (рис. 12). Поскольку на этой линии пересечения
z
= 3, а
3rz=⋅
, то
радиус окружности равен
33
. Поэтому:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
