Составители:
Рубрика:
83
ПРИМЕР 1. Пусть р = 0,2 − вероятность выхода электронного блока из
строя за время испытания. Проведено испытание 1000 блоков. Оценить вероят-
ность того, что число блоков, вышедших при этом из строя, отклоняется по аб-
солютной величине от своего математического ожидания не более чем на 50.
Решение. Пусть ξ = m − число блоков, не прошедших испытание, n =
= 1000. Тогда
Mξ = np = 1000 ⋅0,2 = 200, Dξ = npq =1000 ⋅ 0,2 ⋅(1− 0,2) = 160.
а) Используем сначала неравенство Чебышёва при
ε = 50:
{}{}
222
160
50 200 50 1 1 1 0,936
(50)
Dnpq
PM Pm
ξ
ξξ
εε
−=−<= −<≥−=−=
б) Неравенство Чебышёва даёт грубую оценку. Поскольку в данном при-
мере
n велико, то более точно оценить искомую вероятность можно с помощью
интегральной теоремы Муавра-Лапласа
{}
50
3,95 0,999922
160
2
22()
m
Pm np P p
nn
npq
εε
ε
⎛⎞
⎧⎫
−<= −<≈Φ =
⎨⎬
⎜⎟
⎩⎭
⎝⎠
⎛⎞
=Φ =Φ =
⎜⎟
⎝⎠
(Здесь вместо таблицы функции Лапласа для увеличения точности вычислений
была использована компьютерная система
Mathematica).
Задачи к разделу 10.
10.1. Случайная величина ξ имеет математическое ожидание Mξ = 1 и диспер-
сию
Dξ = 0,04. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность нера-
венства 0,6 <
ξ < 1,4.
10.2. Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что частота
появления герба при 200 бросаниях монеты отклонится от вероятности не более
чем на 0,1. Сравнить результат с вероятностью, полученной с помощью теоре-
мы Муавра – Лапласа.
10.3. Вероятность события A в каждом из n испытаний равна p = 1/3. Используя
неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что частота этого события
отклонится от его вероятности по абсолютной величине менее чем на 0,01 в
