Составители:
Рубрика:
Введение
Настоящая брошюра представляет исправленное и дополненное переиз-
дание учебного пособия авторов [6]. Целью, которую авторы ставили себе
при подготовке первого издания, было методическое обеспечение соответ-
ствующего раздела в общем курсе высшей алгебры, читаемом на факульте-
те прикладной математики — процессов управления СПбГУ. Однако отзывы
коллег убедили авторов в том, что изложенные в пособии результаты могли
бы оказаться полезными и для более широкого круга читателей. Объяснение
этому обстоятельству авторы видят в том, что в отечественной литерату-
ре по алгебре этот раздел традиционно освещается недостаточно полно — в
отличие, например, от таких классических курсов, как [21] или [25].
При подготовке нового издания авторы решили сохранить уровень
сложности изложения, ориентированный на восприятие студента первого
курса классического университета, обучающегося по специальности при-
кладная математика. Предполагается, что студент владеет аппаратом
определителей и его применением к задаче установления совместности сис-
темы линейных уравнений, а также базовыми понятиями теории полиномов
от одной переменной.
Для более же квалифицированного читателя в настоящем введении при-
ведем описание постановок задач и дадим краткий исторический обзор те-
ории.
Итак, объектом теории исключения является система уравнений
f
1
(x
1
,...,x
n
)=0,...,f
n
(x
1
,...,x
n
)=0 , (1)
где f
1
,...,f
n
— полиномы по x
1
,...,x
n
. Поиск решения такой системы
численными (итерационными) методами сложен и, как правило, эффекти-
вен только для случая n = 1 переменной. Основной целью теории исключе-
ния ставится сведение задачи решения системы (1) к одномерному случаю.
Именно, с помощью элементарных преобразований систему (1) как правило
удается свести к эквивалентной ей (т.е. имеющей тот же набор решений)
системе вида
X(x
1
)=0,x
2
− ϑ
2
(x
1
)=0,...,x
n
− ϑ
n
(x
1
)=0 . (2)
Здесь X(x
1
)—полином,аϑ
2
(x
1
),...,ϑ
n
(x
1
) — рациональные функции по
x
1
. Следовательно, в этом случае решение системы (1) сведется к решению
уравнения от одной переменной; иными словами, все остальные перемен-
ные оказываются исключенными. Каждый корень полинома X(x
1
) задает
первую компоненту (координату) решения системы (1), а соответствующие
ему остальные компоненты выражаются через первую с помощью остав-
шихся уравнений системы (2). Еще раз подчеркнем то обстоятельство, что
все компоненты решения системы (1) могут быть рационально выражены
через какую-то одну, например — как в системе (2) — первую.
3
