Теория исключения. Калинина Е.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Техника, позволяющая осуществить приведение системы (1) к виду (2),
основана на понятии результанта. Формально результант двух полиномов
f(x)иg(x) можно определить как полиномиальную функцию коэффици-
ентов f(x)иg(x), обращение которой в нуль является условием необхо-
димым и достаточным для существования общего корня указанных поли-
номов. Вопрос о существовании такой функции ставился еще Ньютоном;
однако первое систематическое исследование этого вопроса было предпри-
нято Безу, изложившим свои результаты в книге [17]. В заслугу Безу может
быть поставлено распространение идеи результанта на случай полиномов
от нескольких переменных. Последнее позволило ему доказать фундамен-
тальный результат теории: число решений системы (1) как правило равно
произведению степеней входящих в нее полиномов:
deg (X(x
1
)) = deg f
1
× ...× deg f
n
.
XIX век стал веком расцвета теории в трудах Пуассона, Абеля, Коши,
Лиувилля, Эрмита, Кронекера, Кэли, Сильвестра, Шлэфли и ряда других
ученых.
В тридцатые годы XX века теория стала жертвой общей тенденции к
аксиоматической формализации математики — тенденции, намеченной еще
Гильбертом и впоследствии реализованной Ван-дер-Варденом и Бурбаки.
Результатом явилось то, что в учебниках по алгебре для изложения была
выбрана хотя и универсальная, логически последовательная, но, вместе с
тем, абсолютно неконструктивная методология изложения теории [3], [22];
все богатство, накопленное предыдущим веком, полностью игнорировалось.
Последствия не заставили себя ждать: интерес к теории потеряли сначала
прикладные математики, а потом и “чистые”; она практически исчезает
из университетских учебников или же остается в них незначительными
фрагментами
1
.
Интерес возродился в восьмидесятые годы. Ряд факторов благоприят-
ствовал этому. Одним из таких факторов стала потребность в абсолютной
достоверности результатов, получаемых в ходе вычислений. Другим же
фактором явилась необходимость в оценке влияния на решения парамет-
ров, входящих в систему (1). Даже если численные методы и могли решить
систему (1) при некоторой специализации параметров, то они оказывались
малопригодными для задачи исследования динамики решений при вариации
этих параметров. Именно для подобных исследований возможность анали-
тического представления решений или, хотя бы, преобразования системы
(1) к эквивалентной, но более простого вида, может оказаться решающей.
Известная трудоемкость символьных алгоритмов потребовала достаточно-
го развития вычислительной техники, но после того как это произошло,
область науки, известная как “компьютерная алгебра”, стала бурно разви-
1
По меткому выражению одного из авторов, теория исключения была фактически ис-
ключена из алгебры.
4

Страницы