Теория исключения. Калинина Е.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ваться. Эта область располагается на стыке математики и информатики;
интерес к ней научного сообщества выражается в быстро растущем числе
публикаций, из которых укажем только некоторые обзорные монографии и
сборники статей [1], [5], [7], [8]. Компьютерная алгебра имеет дело, в основ-
ном, с точными числами и алгебраическими выражениями в их символь-
ном представлении. В таких ее системах общего назначения, как REDUCE,
MACSYMA, MATHEMATICA, MAPLE, AXIOM, MuPAD алгоритмический
базис составляют операции над полиномами и рациональными функциями,
поэтому исследования в этой области включают в себя создание, развитие и
анализ эффективности методов факторизации, вычисления наибольших об-
щих делителей, отделения (локализации) вещественных корней полиномов,
преобразования систем алгебраических уравнений к наиболее простому ви-
ду. Поскольку идеологии решения задач двух алгебр — классической и ком-
пьютерной — совпали, интерес современных исследователей к разработке
научного наследия XIX века значительно возрос.
Интерес к теории исключения был стимулирован еще и потребнос-
тью выявить истоки теории базисов Грёбнера, первое конструктивное
продвижение которой обеспечили работы Бухбергера в семидесятых го-
дах XX века. Бухбергером был разработан универсальный алгоритм по-
строения базиса идеала, порожденного полиномами f
1
,...,f
n
; при некото-
рых дополнительных условиях искомый базис удается построить в форме
X(x
1
),x
2
−
ϑ
2
(x
1
),...,x
n
−
ϑ
n
(x
1
)приполиномиальных
X,
ϑ
2
,...,
ϑ
n
.Тем
самым обеспечивается возможность сведения системы (1) к виду (2). К со-
жалению, алгоритм Бухбергера (и многочисленные последующие модифи-
кации) оказался своего рода “черным ящиком” — когда для конкретной сис-
темы (1) практически невозможно оценить априори время расчета системы
(2). В сравнении с методом базисов Грёбнера теория исключения обладает
весьма существенным преимуществом, а именно — наглядностью. Пред-
ставление результанта в виде подходящего определителя оказалось довольно
удобным также и с точки зрения оценки влияния вариаций коэффициентов
полиномов на решения системы.
Теперь опишем кратко содержание настоящего пособия. В первой его
части вводится основополагающее понятие результанта и устанавливаются
свойства последнего. Формальное определение основывается на представле-
нии результанта в виде определителя (детерминанта) Сильвестра. Не явля-
ясь самым вычислительно оптимальным способом вычисления, этот способ,
тем не менее, является наиболее наглядным. Выводятся основные свойства
результанта, устанавливается его связь с алгоритмом Евклида вычисления
наибольшего общего делителя полиномов, указываются альтернативные де-
терминантные представления результанта (в форме Кронекера и в форме
Безу), обсуждаются его применения для вычисления дискриминанта и пре-
образования Чирнгауза, для нахождения экстремальных значений полинома
и др. Среди этого многообразия выделим два ключевых результата:
5

Страницы