Составители:
Рубрика:
к примеру, упражнение 2.2), а также числа тех из них, что удовлетворяют
алгебраическому неравенству g(x) > 0.
Мы не указали также связи теории исключения с теорией базисов Грёб-
нера [7], [8], хотя квалифицированный читатель безусловно заметит, что по-
линомы системы (11.2) образуют базис Грёбнера радикального нульмерного
идеала I(f(x, y),g(x, y)) относительно лексикографического упорядочения
y x.
Мы не упомянули об аналогии задач преобразования алгебраических
уравнений и задач преобразования линейных дифференциальных и разност-
ных уравнений.
Пример 12.3. Найти условие, при котором два дифференциальных
уравнения
y
(x)+a
1
(x)y
(x)+a
2
(x)y(x)+a
3
(x)=0
и y
(x)+b
1
(x)y
(x)+b
2
(x)y(x)+b
3
(x)=0
(12.3)
имеют общее решение.
Решение. Воспользуемся приемом из примера 1.1. Предположим, что
существует общее решение этих уравнений: y = φ(x); тогда эта функция
должна обращать оба уравнения в тождества:
φ
+ a
1
φ
+ a
2
φ + a
3
≡ 0 ,
φ
+ b
1
φ
+ b
2
φ + b
3
≡ 0 .
Продифференцируем
10
каждое из этих тождеств по x:
φ
+ a
1
φ
+(a
1
+ a
2
)φ
+ a
2
φ + a
3
≡ 0 ,
φ
+ b
1
φ
+(b
1
+ b
2
)φ
+ b
2
φ + b
3
≡ 0;
иещеодинраз:
φ
(4)
+ a
1
φ
+(2a
1
+ a
2
)φ
+(a
1
+2a
2
)φ
+ a
2
φ + a
3
≡ 0 ,
φ
(4)
+ b
1
φ
+(2b
1
+ b
2
)φ
+(b
1
+2b
2
)φ
+ b
2
φ + b
3
≡ 0 .
Теперь объединяем получившиеся тождества в систему, рассматриваемую
относительно столбца неизвестных
φ
(4)
(x),φ
(x),φ
(x),φ
(x),φ(x), 1
.
Эта система однородна и имеет нетривиальное решение. Следовательно,
определитель ее матрицы равен нулю.
10
Всюду в дальнейшем предполагается, что свойства коэффициентов уравнений обес-
печивают выполнимость операций.
66
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
