Теория исключения. Калинина Е.А - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Итак, добиться успеха “с наскока” не удается и надо приступать к
планомерной осаде. Ключевым моментом является понятие двумерно-
го результанта, т.е. полиномиальной функции коэффициентов полиномов
f
1
(x, y),f
2
(x, y)иg(x, y), обращение которой в нуль гарантирует существо-
вание общего нуля данных полиномов. Такую функцию можно определить в
развитие любого из методов построения результанта, изложенных в первой
части, как то: Сильвестра, Кронекера или Безу. Именно, метод Сильвестра
развивается в книге [20], метод Кронекера — в статье [24], а Безу — в ста-
тье [18]. Обладая конструктивным методом нахождения результанта трех
полиномов от двух переменных, мы сможем построить процедуру исклю-
чения в системе из трех алгебраических уравнений от переменных x, y и z,
аналогичную изложенной в §8 для двумерного случая.
Пример 12.2. Решить систему уравнений
⎧
⎨
⎩
z
2
+ zy + y
2
− 2xz − 4yx +3x
2
+ z +2y − x − 2=0,
2z
2
− zy + y
2
− xz − yx − 6x
2
+2z − y + x +2 = 0,
z
2
− 2zy − y
2
− 2xz +2yx +3x
2
+2z +3y − 3x − 1=0.
Решение. По методу Безу [18] составляем матрицу B =[b
jk
(x)]
4
j,k=1
,
где b
jk
(x) ∈ Q[x]. Имеем: det B =
=
−1
49
(
869814 x
7
−1156692 x
6
−399400 x
5
+1116418 x
4
−404610 x
3
−93852 x
2
+56816 x+11506).
Корни этого полинома (элиминанты) задают x-компоненты решений систе-
мы. Соответствующие им y-иz-компоненты получаются по формулам:
y =
6831x
5
− 18141x
4
+ 1848x
3
+ 16725x
2
− 5155x − 2108
2277x
4
− 8581x
3
+ 13522x
2
− 2995x −2043
,
z = −
13601x
4
− 34161x
3
+ 17378x
2
+ 1519x − 517
2277x
4
− 8581x
3
+ 13522x
2
− 2995x − 2043
.
Ответ. Решения системы с точностью до 10
−5
:
(1, 0, 1) ; (−0.94428, −0.15702, −2.42809) ; (0.74136, 0.18176, −0.97093) ;
(−0.21498 ± i 0.05478, 0.67565 ± i 0.33638, −0.21886 ∓ i 0.65557) ;
(0.48135 ± i 0.39011, 1.28693 ∓ i 0.30635, 0.56791 ± i 1.09756) .
Мы не указали в настоящем пособии связи задачи исключения перемен-
ных с задачей локализации решений алгебраического уравнения или систе-
мы уравнений. Дело в том, что каждый метод построения результанта
R(f, g) может быть развит до метода отделения решений алгебраического
уравнения [13], [24]. Например, в той же идеологии решается задача уста-
новления точного числа вещественных корней полинома f(x) ∈ R[
x](cм.,
65

Страницы