Теория исключения. Калинина Е.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

В теории исключения наиболее трудной является методология перехода
от случая двух переменных к случаю трех переменных. Лежащая “на виду”
идея последовательного исключения переменных в системе
f
1
(x, y, z)=0,f
2
(x, y, z)=0,f
3
(x, y, z)=0 , (12.1)
например, по схеме
(12.1) ⇒
+
g
12
(x, y)
def
= R
z
(f
1
,f
2
)=0
g
13
(x, y)
def
= R
z
(f
1
,f
3
)=0
⇒ h(x)
def
= R
y
(g
12
,g
13
)=0
(12.2)
срабатывает лишь частично: полином h(x) может обладать “посторонни-
ми” корнями, т.е. такими, которые не являются компонентами решений
исходной системы.
Пример 12.1. Решить систему уравнений
⎧
⎨
⎩
f
1
(x, y, z)=x
2
− 3 x + y + z +2=0 ,
f
2
(x, y, z)=x
2
+ xz + y − 1=0 ,
f
3
(x, y, z)=x
2
− x + y − z − 2=0 .
Решение. Усилим приведенную выше схему составлением всевозмож-
ных перекрестных элиминант:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
g
12
(y, z)
def
= R
x
(f
1
,f
2
)=(3+z)
2
(y + z) ,
g
23
(y, z)
def
= R
x
(f
2
,f
3
)=(1+z)
2
(−z + y) ,
g
13
(y, z)
def
= R
x
(f
1
,f
3
)=4y +8z +4z
2
;
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
h
3
(z)
def
= R
y
(g
13
,g
23
)=4z(z +1)
2
(3 + z) ,
h
1
(z)
def
= R
y
(g
12
,g
13
)=4z(z + 1)(3 + z)
2
,
h
2
(z)
def
= R
y
(g
12
,g
23
)=−2 z(z +1)
2
(3 + z)
2
.
Последние полиномы имеют общий корень z = 0; однако, легко установить,
что при z = 0 исходная система несовместна.
Ответ. Система имеет два решения: (1, 1, −1), (−1, −3, −3).
Для оценки возможного числа “посторонних” решений произвольной
системы (12.1) воспользуемся трехмерным аналогом теоремы Безу. Имен-
но, утверждается, что число решений системы как правило равно произве-
дению степеней входящих в нее уравнений: если n
j
def
=degf
j
,тоэточисло
равно n
1
n
2
n
3
. На основании же теоремы 9.1 степень полинома h(x)изсхе-
мы (12.2) окажется как правило равной n
2
1
n
2
n
3
. Итак, если использовать для
решения системы схему (12.2), то следует ожидать появления (n
2
1
−n
1
)n
2
n
3
“посторонних” корней (при n
1
> 1); проблема их отсеивания представляет
отдельную задачу, требующую применения численных методов ...
64

Страницы