Теория исключения. Калинина Е.А - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Эквидистанты имеют очевидный физический смысл. Если предполо-
жить, что каждая точка кривой является источником излучения, то экви-
дистанта представляет собой волновой фронт
9
.
Задача. Построить уравнение эквидистант графика y = f(x), где
f(x) ∈ R[x].
Теорема 11.2. Эквидистанты K
h
и K
−h
задаются уравнением
Φ(x, y)=0, где Φ(x, y)
def
= D
X
%
[X − x]
2
+[f(X) −y]
2
− h
2
&
.
Здесь дискриминант берется по переменной X, в то время как остальные
переменные считаются параметрами.
Доказательство . Пусть точка (x, y) эквидистанты находится на рас-
стоянии h от ближайшей к ней точки (X, Y = f(X)) кривой K.Тангенсугла
наклона касательной к графику Y = f(X)равенf
(X). Следовательно, по
определению эквидистанты, вектор (X − x, Y − y)долженбытьперпенди-
кулярен направляющему вектору касательной. Таким образом, получаем
систему из трех уравнений
(x − X)
2
+(y − Y )
2
= h
2
,Y= f(X), (x − X)+f
(X)(y − Y )=0.
Среднее из этих условий позволяет исключить переменную Y из первого и
третьего уравнения:
(x − X)
2
+(y − f(X))
2
− h
2
=0, (x − X)+f
(X)(y − f(X)) = 0 .
Теперь для исключения переменной X мы должны были бы составить эли-
минанту по переменной X. Очевидно, однако, что второе уравнение явля-
ется (с точностью до множителя) производной первого по X. 2
Пример 11.2. Найти уравнение эквидистант параболы y = x
2
.
Решение. После вычисления дискриминанта, отбросим общий множи-
тель его коэффициентов и сгруппируем по степеням h:
Φ(x, y)=D
X
(
X
4
+(1− 2y)X
2
− 2 xX + x
2
+ y
2
− h
2
)
=
=(16y
2
+16x
2
− 8 y +1)(y − x
2
)
2
+
+
8(−4 y
2
− 8 yx
2
− y +1− 8 x
4
)(y − x
2
) − (4 x
2
+1)
3
h
2
+
+8(2y
2
+4y +6x
2
− 1)h
4
− 16 h
6
.
Уравнение Φ(x, y) = 0 и дает искомые эквидистанты K
h
и K
−h
для параболы
y = x
2
. На рис. 4 показаны эквидистанты параболы для h =1
9
В предположении изотропности физической среды, из которой состоит плоскость.
62

Страницы