Теория исключения. Калинина Е.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Решение. В каноническом представлении полинома f(x, y) имеется 10
коэффициентов, которые мы считаем неопределенными и ищем из заданных
условий. Разрешая получающуюся систему из 9 линейных уравнений от-
носительно этих коэффициентов, мы приходим к ответу: матрица системы
имеет ранг 7, т.е., согласно теореме Кронекера–Капелли, сама система будет
совместной только при дополнительном условии “связи” величин z
2
,...,z
9
.
Именно, последние должны удовлетворять определенному линейному соот-
ношению
p
2
z
2
+ ...+ p
9
z
9
=0
при целых p
2
,...,p
9
(мы не указываем эти числа ввиду их громоздкости).
Таким образом, в общем случае поставленная задача неразрешима (напри-
мер, она не имеет решения при z
2
= ...= z
9
=1).
При z
2
,...,z
9
, удовлетворяющих упомянутому уравнению “связи”, по-
ставленная задача имеет решение. Однако, оно неединственно в силу все
той же теоремы Кронекера–Капелли, поскольку число совместных линей-
ных уравнений меньше числа определяемых ими коэффициентов.
Как удалось подобрать узлы настолько “неудачные” для задачи интер-
поляции? Как раз с помощью теории исключения. Эти узлы были взяты
как точки пересечения двух кривых третьего порядка (кубик)
241 x
3
−1659 x
2
y−6043 xy
2
+6300 y
3
+ 1633 x
2
−6592 xy+23100 y
2
+11886 x−28866 y =0
и
3814 x
3
−3814 x
2
y+4493 xy
2
−4112 y
3
−2040 x
2
+4195 xy−15550 y
2
−25984 x+38998 y =0 .
Согласно теореме 9.1 (Безу), две такие кривые пересекаются в 9 точках
8
.
Система из 9 линейных уравнений для определения 10 коэффициентов ин-
терполяционного полинома при z
2
= ... = z
9
= 0 становится однородной.
Поскольку она имеет 2 линейно независимых набора решений, то ранг ее
матрицы должен быть не выше 8. Если мы “сдвинем” хоть одно из значе-
ний z
j
из нуля, то почти наверняка соответствующая неоднородная система
станет несовместной, а задача интерполяции — неразрешимой.
11.3 Об эквидистанте
Определение. Рассмотрим гладкую кривую K, в каждой ее точке A прове-
дем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся
на некотором фиксированном расстоянии h от точки A. Полученные точ-
ки формируют две кривые, каждую из которых назовем эквидистантой
кривой K и будем обозначать K
+h
и K
−h
.
8
Сложность заключалась лишь в необходимости подобрать коэффициенты этих кубик
так, чтобы все точки пересечения оказались с рациональными координатами.
61

Страницы