ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
12 12
м
QmcdTν CdT
−−
=
⋅= ⋅
∫
∫
, (2.2)
где
с — удельная теплоемкость вещества, С
м
— его молярная теплоем-
кость. В большинстве задач значения
с и С
м
можно считать не зависящими от
температуры и выносить их за знак интеграла. При этом необходимо учиты-
вать, что количество теплоты и, соответственно, величины теплоемкостей зави-
сят от типа процесса 1-2. Если теплообмен идет при постоянном давлении (изо-
барический процесс) или постоянном объеме (изохорический процесс), то раз-
ность соответствующих молярных теплоемкостей
С
р
и С
V
определяется по
уравнению Майера
pV
CC R
−
= . (2.3)
Расчет работы, совершаемой газом в процессе 1-2, производится по фор-
муле
12
A
PdV
−
=
⋅
∫
. (2.4)
Получаемая при интегрировании величина работы также зависит от типа
процесса 1-2. На графике процесса в ко-
ординатах
P–V величина работы равна
площади криволинейной трапеции под
линией процесса (рис. 2.1). Расчет суще-
ственно облегчается, если удается ис-
пользовать уравнение соответствующего
процесса. Например, при постоянстве
температуры (изотермический процесс)
можно воспользоваться уравнением Бой-
ля-Мариотта
PV = P
1
V
1
, где P
1
и V
1
пара-
метры одного из состояний. Если же
процесс идет без теплообмена, то удобно
применить одно из уравнений адиабаты
11
11 11
или
γγ γ γ
PV PV TV TV
−
−
==. (2.5)
где показатель адиабаты
p
V
C
γ
C
=
>1. (2.6)
Например, если состояние «1» является начальным, а состояние «2» ко-
нечным, то работа при адиабатическом процессе
12
A
PdV
−
=
⋅
∫
2
1
11
11
11
21
111
1
V
γ
γ
γγγ
V
PV
PV dV
γ
VVV
−
−
⎛⎞
==−
⎜⎟
−
⎝⎠
∫
.
Расчеты работы при изобарическом и изотермическом процессах выполнен
в примере 3а. Из формулы (2.4) следует, что работа при изохорическом процес-
се (V = const) равна нулю. Тогда первое начало термодинамики (2.1) можно пе-
реписать в виде
12
ΔΔ
VV
UQν CdTν CT
−
== ⋅ =⋅ ⋅
∫
. (2.7)
P
1
2
V
Рис. 2.1. Работа равна площади за-
штрихованного участка.
3
Q=m ∫ c ⋅ dT = ν ∫ Cм ⋅ dT , (2.2)
1− 2 1− 2
где с — удельная теплоемкость вещества, См — его молярная теплоем-
кость. В большинстве задач значения с и См можно считать не зависящими от
температуры и выносить их за знак интеграла. При этом необходимо учиты-
вать, что количество теплоты и, соответственно, величины теплоемкостей зави-
сят от типа процесса 1-2. Если теплообмен идет при постоянном давлении (изо-
барический процесс) или постоянном объеме (изохорический процесс), то раз-
ность соответствующих молярных теплоемкостей Ср и СV определяется по
уравнению Майера
C p − CV = R . (2.3)
Расчет работы, совершаемой газом в процессе 1-2, производится по фор-
муле
A = ∫ P ⋅ dV . (2.4)
1− 2
Получаемая при интегрировании величина работы также зависит от типа
процесса 1-2. На графике процесса в ко-
P
ординатах P–V величина работы равна
1
площади криволинейной трапеции под
линией процесса (рис. 2.1). Расчет суще-
2
ственно облегчается, если удается ис-
пользовать уравнение соответствующего
процесса. Например, при постоянстве
температуры (изотермический процесс)
V
можно воспользоваться уравнением Бой-
Рис. 2.1. Работа равна площади за-
ля-Мариотта PV = P1V1, где P1 и V1 пара-
штрихованного участка.
метры одного из состояний. Если же
процесс идет без теплообмена, то удобно
применить одно из уравнений адиабаты
PV γ = PV 1 1
γ
или TV γ −1 = TV γ −1
1 1 . (2.5)
Cp
где показатель адиабаты γ = >1. (2.6)
CV
Например, если состояние «1» является начальным, а состояние «2» ко-
нечным, то работа при адиабатическом процессе
V2 γ⎛
1 PV 1 1 ⎞
A = ∫ P ⋅ dV = PV1 1 ∫ γ dV =
γ
⎜ γ−1 − γ −1 ⎟ .
1 1
1− 2 V1
V 1 − γ ⎝ V2 V1 ⎠
Расчеты работы при изобарическом и изотермическом процессах выполнен
в примере 3а. Из формулы (2.4) следует, что работа при изохорическом процес-
се (V = const) равна нулю. Тогда первое начало термодинамики (2.1) можно пе-
реписать в виде
ΔU = Q = ν ∫ CV ⋅ dT = ν ⋅ CV ⋅ ΔT . (2.7)
1− 2
