Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

5
гия вращательного движения и механическая (кинетическая и потенциальная)
энергия колебательного движения. Средняя потенциальная энергия колебатель-
ного движения молекулы равна средней кинетической энергии колебательного
движения. Таким образом, средняя энергия молекулы равна
2
i
E
kT=
, (3.3)
где
i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа
колебательных степеней свободы молекулы (т.к. они обладают кинетической и
потенциальной энергией):
2
пост вращ колеб
in n n
=
++ . (3.4)
В квантовой механике доказывается, что при вычислении теплоемкости
газа учет степеней свободы зависит от температуры. Поступательные степени
свободы необходимо учитывать практически при всех температурах. Враща-
тельные степени свободы необходимо учитывать при не очень низких темпера-
турах (например, для молекул водорода при
Т
>
86 К). Колебательные же сте-
пени свободы начинают давать ощутимый вклад в величину теплоемкости
только при высоких температурах (например, для молекул водорода при
Т
>
6400 К).
Поэтому, при атмосферных условиях считается, что межатомные связи
внутри молекул газов «жесткие» и колебательные степени свободы не учиты-
ваются. В этом случае двухатомную молекулу
можно смоделировать двумя «жестко» связан-
ными материальными точками (рис. 3.1). Ее
положение в пространстве определяется тремя
координатами центра масс и двумя углами
вращательного движения вокруг осей O
′O′ и
O′′O′′. Вращение вокруг оси OO для этой сис-
темы материальных точек лишено смысла. По-
этому, число степеней свободы такой молекулы
равно 5. Из них три поступательных и две вра-
щательных.
Внутренняя энергия моля идеального газа
U
М
равна сумме энергий отдель-
ных молекул. Тогда
22
MA
ii
UkTNRT=⋅=
, где учтено, что
.
A
kN R=
(3.5)
Для идеального газа из формулы (2.7) следует, что
M
V
V
dU
с
dT
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
. Тогда из
(3.5), (2.3) и (2.6) получаем
22
;;
22
VP
ii i
с Rc Rγ
i
+
+
== =
. (3.6)
O′
O′′
O O
O′′
O′
Рис. 3.1. 
                                        5
гия вращательного движения и механическая (кинетическая и потенциальная)
энергия колебательного движения. Средняя потенциальная энергия колебатель-
ного движения молекулы равна средней кинетической энергии колебательного
движения. Таким образом, средняя энергия молекулы равна
                                       i
                                  E = kT ,                              (3.3)
                                       2
где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа
колебательных степеней свободы молекулы (т.к. они обладают кинетической и
потенциальной энергией):
                               i = nпост + nвращ + 2nколеб .            (3.4)
      В квантовой механике доказывается, что при вычислении теплоемкости
газа учет степеней свободы зависит от температуры. Поступательные степени
свободы необходимо учитывать практически при всех температурах. Враща-
тельные степени свободы необходимо учитывать при не очень низких темпера-
турах (например, для молекул водорода при Т > 86 К). Колебательные же сте-
пени свободы начинают давать ощутимый вклад в величину теплоемкости
только при высоких температурах (например, для молекул водорода при Т >
6400 К).
      Поэтому, при атмосферных условиях считается, что межатомные связи
внутри молекул газов «жесткие» и колебательные степени свободы не учиты-
                               ваются. В этом случае двухатомную молекулу
                 O′            можно смоделировать двумя «жестко» связан-
                         O′′   ными материальными точками (рис. 3.1). Ее
                               положение в пространстве определяется тремя
 O                        O координатами центра масс и двумя углами
                               вращательного движения вокруг осей O′O′ и
                               O′′O′′. Вращение вокруг оси OO для этой сис-
  O′′                          темы материальных точек лишено смысла. По-
                O′             этому, число степеней свободы такой молекулы
           Рис. 3.1.           равно 5. Из них три поступательных и две вра-
                               щательных.
      Внутренняя энергия моля идеального газа UМ равна сумме энергий отдель-
ных молекул. Тогда

                              i          i
                         U M = kT ⋅ N A = RT , где учтено, что kN A = R.     (3.5)
                              2          2
                                                               ⎛ dU M ⎞
     Для идеального газа из формулы (2.7) следует, что сV = ⎜         ⎟ . Тогда из
                                                               ⎝   dT ⎠V
(3.5), (2.3) и (2.6) получаем
                                      i        i+2         i+2
                                сV = R; cP =       R; γ =        .           (3.6)
                                     2          2            i

Страницы