Статистическая физика и термодинамика. Камзолов С.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
22
1
2
22
2
()
2
x
x
mV mV
kT kT
x
m
fV C e e
π kT
−−
⎛⎞
=⋅ = ⋅
⎜⎟
⋅
⎝⎠
, (4.3)
где
т — масса отдельной молекулы. График этой функции приведен на рис.
4.1. Площадь заштрихованного участка соответствует вероятности того, что
молекула обладает проекцией скорости, значение которой находится в интерва-
ле от
V
1x
до V
2x
.
В практических задачах вместо функции распределения (4.3) часто удоб-
нее использовать функцию распределения по модулю скорости
2
3
2
2
2
() 4
2
mV
kT
m
FV π Ve
π kT
−
⎛⎞
=⋅ ⋅
⎜⎟
⋅
⎝⎠
. (4.4)
Отношение
m
k
можно
использовать в виде
M
R
.
График этой функции
приведен на рис. 4.2. Мак-
симум соответствует
наибо-
лее вероятной скорости
мо-
лекул V
НВ
, которая равна
22
НВ
kT RT
V
mM
==
. (4.5)
Зная функцию распреде-
ления
f(A), можно найти сред-
нее
значение самой величины
А
СР
или величины, зависящей
от
А , т.е. Ф
СР
(А)
()
СР
A
А
fAdA=⋅
∫
,
() ()
СР
ФФAfAdА=⋅
∫
. (4.6)
При этом интегрирование ведется по всей области определения величины А.
Например, определенные таким образом
средняя скорость V
СР
и средняя
квадратичная скорость
(
)
2
.
СР КВ
СР
VV= , равны
88
СР
kT RT
V
πm πM
== , (4.7)
.
33
СР КВ
kT RT
V
mM
==
. (4.8)
f(V
x
)
0 V
1x
V
2x
V
x
Рис. 5.5. Распределение Максвелла по проекции
скорости.
F(V)
0 V
НВ
V
Рис. 4.2. Распределение Максвелла по скоро-
стям. 
                                        7
                                                                     1
                                                 mVx2                      mV 2
                                             ⎛ m
                                             −              − x     ⎞2
                           f (Vx ) = C2 ⋅ e =⎜   2 kT
                                                       ⎟ ⋅e
                                                             2 kT ,    (4.3)
                                             ⎝ 2π ⋅ kT ⎠
где т — масса отдельной молекулы. График этой функции приведен на рис.
4.1. Площадь заштрихованного участка соответствует вероятности того, что
молекула обладает проекцией скорости, значение которой находится в интерва-
ле от V1x до V2x.
     В практических задачах вместо функции распределения (4.3) часто удоб-
нее использовать функцию распределения по модулю скорости
                          3
                               mV 2
                      ⎛ m ⎞ 2 − 2 kT
    F (V ) = 4π ⋅ V 2 ⎜          ⎟ ⋅e
                      ⎝ 2π ⋅ kT ⎠             f(Vx)
            .                 (4.4)
                     m
    Отношение             можно
                      k
                         M
использовать в виде           .
                          R
    График этой функции                            0 V1x V2x         Vx
приведен на рис. 4.2. Мак- Рис. 5.5. Распределение Максвелла по проекции
симум соответствует наибо- скорости.
F(V)                                                        лее вероятной скорости мо-
                                                            лекул VНВ, которая равна

                                                                         2kT   2 RT
                                                                VНВ =        =      . (4.5)
                                                                          m     M
                                                                 Зная функцию распреде-
                                                            ления f(A), можно найти сред-
                                                            нее значение самой величины
0            VНВ                                 V          АСР или величины, зависящей
                                                            от А , т.е. ФСР(А)
Рис. 4.2. Распределение Максвелла по скоро-
          стям.                                                            AСР = ∫ А ⋅ f ( A) dA ,
                                                        ФСР = ∫ Ф( A) ⋅ f ( A) dА .         (4.6)
При этом интегрирование ведется по всей области определения величины А.
    Например, определенные таким образом средняя скорость VСР и средняя
квадратичная скорость VСР.КВ =        (V )
                                        2
                                             СР
                                                   , равны

                                        8kT   8 RT
                              VСР =         =      ,                                        (4.7)
                                        πm    πM
                                                 3kT   3RT
                              VСР.КВ =               =     .                                (4.8)
                                                  m     M

Страницы