Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 109 стр.

                    §9. Дифракция волн                                                                   109

                             Для задачи о дифракции волны на экране с отверстием удобно
                    рассматривать поверхность Σ в виде бесконечного экрана с отверстием и
                    полусферы с центром в этом отверстии. В такой постановке нетрудно
                    получить условие излучения Зоммерфельда. Согласно этому условию для
                    точки P , находящейся на конечном расстоянии от экрана, вклад в интеграл
                    (9.3) результата интегрирования по полусферической поверхности,
                    охватывающей P , равен нулю при стремлении радиуса этой сферы к
                    бесконечности. С учетом условия Зоммерфельда областью интегрирования
                     Σ в (9.3) является экран с отверстием:
                                              Σ = Σ отв + Σ экран .                  (9.4)
                           В соответствии с приближениями Кирхгофа поле на экране
                    тождественно равно нулю, а в отверстии совпадает с невозмущенным
                    полем, которое было бы в отсутствии экрана. В результате интегральное
                    уравнение (9.3) становится формулой в виде интеграла от известного
                    выражения, вычисляемого по поверхности отверстия Σ отв :
                                    1             ∂G ( M )        ∂E (M )          (9.5)
                          E ( P) =
                                   4π      ∫
                                         E S (M )
                                                    ∂n
                                                            − G(M ) S
                                                                     ∂n 
                                                                           dΣ отв ,
                                      Σ    отв

                    где E S (M ) – поле источника волны в точке интегрирования M ,
                    находящейся в отверстии, а G (M ) – функция Грина для этой точки.
                            В оптическом приближении принимается, что длина волны λ
                    много меньше расстояний r0 и r от экрана до источника и до точки
                    наблюдения, соответственно:
                                               λ << r0 , r .                          (9.6)
                    В этом приближении интеграл Гельмгольца–Кирхгофа (9.3) принимает вид
                    выражения, называемого формулой Френеля–Кирхгофа:
                                           ik                       e −ikr
                                E ( P) =
                                           4π     ∫
                                                 Σ отв
                                                         ES ( M )
                                                                       r
                                                                           (cos α − cos β)dΣ отв ,   (9.7)

                                    e −ikr0
                    где   E S (M ) = A      – комплексная амплитуда сферической волны,
                                      r0
                    создаваемой точечным источником S в точке интегрирования M , α – угол
                    между внутренней нормалью n к поверхности отверстия и радиус-вектором
                    r0 , проведенным из источника S в точку интегрирования M , β – угол
                    между нормалью n и радиус-вектором r , проведенным из точки
                    наблюдения P в точку интегрирования M .




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com