Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 111 стр.

UptoLike

Рубрика: 

§9. Дифракция волн
111
P
R точки
P
от оси в плоскости наблюдения малы по сравнению с
продольными масштабами:
zrrRb
P
,,,
0
<< ,
(9.12)
где
z
расстояние от экрана до точки наблюдения
P
. В этом случае углы
0
α
и
π
β
, и в (9.7) можно положить 1cos,1cos
β
α
. Кроме того,
неравенство (9.12) позволяет заменить в пределах отверстия сферический
волновой фронт на параболический, а расстояние
на
z
. В результате, в
приближении Френеля амплитуда дифрагировавшей волны ),,( zyxE в
точке
P
, определяемой координатами
y
x
,
в плоскости наблюдения
z
,
выражается следующим интегралом:
()()
(
)
Σ
+
π
=
отв
22
2
exp),(
2
),,( ydxdyyxx
z
ik
yxEe
z
ik
zyxE
ikz
(9.13)
Из (9.12) следует, что в приближении Френеля рассматриваются волны,
распространяющиеся под малыми углами к оси
OZ
. Это приближение
называют также приосевым (параксиальным). В соответствии с приосевым
приближением амплитуду ),,( zyxE можно представить следующим
образом:
ikz
ezyxAzyxE
= ),,(),,( .
(9.14)
Для комплексной амплитуды ),,( zyxA дифракционная формула Френеля
(9.13) принимает вид:
()()
(
)
Σ
+
π
=
отв
22
2
exp),(
2
),,( ydxdyyxx
z
ik
yxA
z
ik
zyxA
(9.15)
Для комплексной амплитуды ),,( zyxA справедливо параболическое
уравнение дифракции:
2
2
2
2
2
y
A
x
A
z
A
ik
+
=
.
(9.16)
Дифракции Френеля определяется условием: размер отверстия или
препятствия сравним или в несколько раз превышает радиус
1
R первой
зоны Френеля. Для плоской волны, падающей на препятствие (
ρ
), это
условие приводит к неравенству:
λ zb ,
(9.17)
где b радиус отверстия, а z расстояние от него до точки наблюдения.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §9. Дифракция волн                                                                                             111

                     RP точки P от оси в плоскости наблюдения малы по сравнению с
                    продольными масштабами:
                                              b, RP << r0 , r , z ,                    (9.12)
                    где z – расстояние от экрана до точки наблюдения P . В этом случае углы
                    α ≈ 0 и β ≈ π , и в (9.7) можно положить cos α ≈ 1, cos β ≈ −1 . Кроме того,
                    неравенство (9.12) позволяет заменить в пределах отверстия сферический
                    волновой фронт на параболический, а расстояние r на z . В результате, в
                    приближении Френеля амплитуда дифрагировавшей волны E ( x, y, z ) в
                    точке P , определяемой координатами x, y в плоскости наблюдения z ,
                    выражается следующим интегралом:
                        E ( x, y , z ) =
                                            ik −ikz
                                           2πz
                                               e       ∫
                                                                                ik
                                                              E ( x′, y ′) exp  −
                                                                                  2 z
                                                                                      (                          )
                                                                                       (x − x ′)2 + ( y − y ′ )2 dx ′dy ′
                                                                                                                             (9.13)
                                                      Σ отв


                    Из (9.12) следует, что в приближении Френеля рассматриваются волны,
                    распространяющиеся под малыми углами к оси OZ . Это приближение
                    называют также приосевым (параксиальным). В соответствии с приосевым
                    приближением амплитуду E ( x, y, z ) можно представить следующим
                    образом:
                                             E ( x, y, z ) = A( x, y , z )e −ikz .                     (9.14)
                    Для комплексной амплитуды A( x, y, z ) дифракционная формула Френеля
                    (9.13) принимает вид:
                        A( x, y, z ) =
                                        ik
                                       2πz      ∫
                                                              ik
                                             A( x′, y′) exp −
                                                              2z
                                                                                  (
                                                                      (x − x′)2 + ( y − y ′)2 dx′dy′
                                                                                               
                                                                                                       (9.15)
                                                                                                             )
                                           Σ    отв

                    Для комплексной амплитуды                                A( x, y, z )     справедливо параболическое
                    уравнение дифракции:
                                             ∂A ∂ 2 A ∂ 2 A
                                                =    +   2ik.                     (9.16)
                                             ∂z ∂x 2 ∂y 2
                    Дифракции Френеля определяется условием: размер отверстия или
                    препятствия сравним или в несколько раз превышает радиус R1 первой
                    зоны Френеля. Для плоской волны, падающей на препятствие ( ρ → ∞ ), это
                    условие приводит к неравенству:
                                               b ≥ zλ ,                           (9.17)
                    где b – радиус отверстия, а z – расстояние от него до точки наблюдения.




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com