Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Дифракция волн
112
Эффект Тальбо
Эффект дифракционного самовоспроизведения светового поля с
периодической модуляцией амплитуды в плоскости, перпендикулярной
направлению распространения, (эффект Тальбо) объясняется в рамках
теории дифракции Френеля. Для этого можно использовать разложение
комплексной амплитуды ),,(
z
y
x
A
светового поля в пространственный
спектр Фурье. При одномерной периодической модуляции по оси OX
комплексная амплитуда ),(
z
x
A
волны, распространяющейся по оси OZ,
представима в виде ряда Фурье:
zik
n
n
n
n
ezAzxA
∑
+∞=
−∞=
= )(),(
,
(9.18)
где k
n
= 2πn/a – компонента волнового вектора, или частота
пространственного спектра Фурье, a – период пространственной модуляции
амплитуды ),(
z
x
A
. Амплитуды )(zA
n
гармоник пространственного спектра
зависят от переменной z в направлении распространения волны. При z = 0
они согласно (4.23) равны:
dxezxA
a
A
a
xik
n
n
∫
−
==
0
)0,(
1
)0( ,
(9.19)
где )0,( =zxA – комплексная амплитуда поля непосредственно за
транспарантом, осуществляющим пространственную модуляцию.
Подстановка амплитуды ),( zxA (9.18) в параболическое уравнение
дифракции (9.16) для монохроматического поля и использование свойства
ортогональности гармоник Фурье
xik
n
e приводит к системе независимых
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно )(zA
n
:
0)(
)(
2
2
=+ zAk
dz
zdA
ik
nn
n
.
(9.20)
Здесь λπ= 2k – волновое число. Решение уравнения (9.20) имеет вид:
)(
)0()(
zi
nn
n
eAzA
ϕ
= .
(9.21)
где фаза )(z
n
ϕ равна:
z
k
k
z
n
n
2
)(
2
=ϕ или zn
ak
z
n
2
2
2
1
)(
π
=ϕ .
(9.22)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    112                                                                §9. Дифракция волн

                                                Эффект Тальбо
                           Эффект дифракционного самовоспроизведения светового поля с
                    периодической модуляцией амплитуды в плоскости, перпендикулярной
                    направлению распространения, (эффект Тальбо) объясняется в рамках
                    теории дифракции Френеля. Для этого можно использовать разложение
                    комплексной амплитуды A( x, y, z ) светового поля в пространственный
                    спектр Фурье. При одномерной периодической модуляции по оси OX
                    комплексная амплитуда A( x, z ) волны, распространяющейся по оси OZ,
                    представима в виде ряда Фурье:
                                                             n =+∞
                                               A( x, z ) =   ∑ An ( z)e ik z ,
                                                                          n
                                                                                                (9.18)
                                                             n =−∞
                    где    kn = 2πn/a – компонента    волнового      вектора,   или    частота
                    пространственного спектра Фурье, a – период пространственной модуляции
                    амплитуды A( x, z ) . Амплитуды An (z ) гармоник пространственного спектра
                    зависят от переменной z в направлении распространения волны. При z = 0
                    они согласно (4.23) равны:
                                                       a
                                                    1
                                         An (0) =
                                                    a  ∫
                                                      A( x, z = 0) e −ikn x dx ,                (9.19)
                                                       0
                    где A( x, z = 0) – комплексная амплитуда поля непосредственно за
                    транспарантом, осуществляющим пространственную модуляцию.
                           Подстановка амплитуды A( x, z ) (9.18) в параболическое уравнение
                    дифракции (9.16) для монохроматического поля и использование свойства
                    ортогональности гармоник Фурье e ikn x приводит к системе независимых
                    обыкновенных дифференциальных уравнений относительно An (z ) :
                                           dA ( z )
                                        2ik n       + k n 2 An ( z ) = 0 .           (9.20)
                                             dz
                    Здесь k = 2π λ – волновое число. Решение уравнения (9.20) имеет вид:
                                           A ( z ) = A (0)e iϕn ( z ) .
                                                   n           n
                                                                                     (9.21)
                    где фаза ϕ n (z ) равна:
                                                                                   2
                                               kn 2                    1  2π 
                                  ϕ n ( z) =        z или ϕ n ( z ) =       n z .             (9.22)
                                               2k                     2k  a 




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы