Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
44
При суммировании двух гармонических сигналов на частотах
1
ω ,
2
ω и равной амплитуды
0
a частотный спектр )(ωS выражается суммой
двух дельта-функций:
)()()(
2010
ω−ωδ+ω−ωδ=ω aaS .
(4.4)
Для близких частот
1
ω и
2
ω , то есть при
2121
, ωω<<ω−ω , суммарный
сигнал )(tξ имеет вид биений, и его изменение во времени представляется
следующим образом:
ttat
00
cos
~
cos2)( ω⋅ω=ξ ,
(4.5)
где 2/
~
21
ω−ω=ω – частота биений, а 2/)(
210
ω+ω=ω – несущая частота.
Для близких значений
1
ω и
2
ω частота
ω
~
много меньше несущей
0
ω .
В радиовещании на длинных (
1500600
−
=
λ
м), средних
(
600100
−
=
λ
м) и коротких (
10010
−
=
λ
м) волнах используется модуляция
амплитуды электромагнитных волн звуковыми частотами,
воспринимаемыми человеком. При гармонической модуляции амплитуды
изменение сигнала )(tξ во времени имеет вид:
ttmat
m 00
cos)cos1()( ωω+=ξ ,
(4.6)
где
m
ω – частота модуляции,
m
– глубина модуляции,
0
ω – несущая
частота, то есть частота электромагнитной волны. Частотный спектр )(ωS
сигнала (4.6) состоит из суммы трех гармоник:
)(
2
)(
2
)()(
00
00 mm
mama
aS ω+ωδ+ω−ωδ+ω−ωδ=ω .
(4.7)
При суперпозиции эквидистантных гармоник одинаковой
амплитуды
0
a спектр сигнала )(ωS является дискретным. Если начальные
фазы гармоник равны нулю, спектр )(ωS можно представить следующей
суммой:
∑
−
=
ω−ωδ=ω
1
0
0
)()(
N
n
n
aS
,
(4.8)
где n
n
Ω+ω=ω
1
, – частота
n
-ой гармоники ( 1...,,1,0
−
=
N
n
), а
Ω
–
частотный интервал между двумя соседними гармониками. Полоса частот
ω
, которую занимает спектр )(ωS , и центральная частота
0
ω этой полосы
равны:
)1( −Ω=ω∆ N , 2/
10
ω∆+ω=ω .
(4.9)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    44                                                                §4. Спектры

                            При суммировании двух гармонических сигналов на частотах ω1 ,
                    ω2 и равной амплитуды a0 частотный спектр S (ω) выражается суммой
                    двух дельта-функций:
                                   S (ω) = a0 δ(ω − ω1 ) + a0 δ(ω − ω2 ) .       (4.4)
                    Для близких частот ω1 и ω2 , то есть при ω1 − ω2 << ω1 , ω2 , суммарный
                    сигнал ξ(t ) имеет вид биений, и его изменение во времени представляется
                    следующим образом:
                                                         ~ t ⋅ cos ω t ,
                                         ξ(t ) = 2a0 cos ω                           (4.5)
                                                                    0
                        ~
                    где ω = ω − ω / 2 – частота биений, а ω = (ω + ω ) / 2 – несущая частота.
                              1    2                           0     1    2
                    Для близких значений ω1 и ω2 частота ω          ~ много меньше несущей ω .
                                                                                             0
                             В радиовещании на длинных ( λ = 600 − 1500 м), средних
                    ( λ = 100 − 600 м) и коротких ( λ = 10 − 100 м) волнах используется модуляция
                    амплитуды        электромагнитных              волн       звуковыми   частотами,
                    воспринимаемыми человеком. При гармонической модуляции амплитуды
                    изменение сигнала ξ(t ) во времени имеет вид:
                                        ξ(t ) = a0 (1 + m cos ωmt ) cos ω0t ,                (4.6)
                    где ωm – частота модуляции, m – глубина модуляции, ω0 – несущая
                    частота, то есть частота электромагнитной волны. Частотный спектр S (ω)
                    сигнала (4.6) состоит из суммы трех гармоник:
                                                  a m                    a m        (4.7)
                           S (ω) = a0 δ(ω − ω0 ) + 0 δ(ω − ωm ) + 0 δ(ω + ωm ) .
                                                   2                      2
                            При суперпозиции эквидистантных гармоник одинаковой
                    амплитуды a0 спектр сигнала S (ω) является дискретным. Если начальные
                    фазы гармоник равны нулю, спектр S (ω) можно представить следующей
                    суммой:
                                                      N −1                          (4.8)
                                                    ∑
                                           S (ω) = a0      δ (ω − ω n ) ,
                                                    n =0
                    где ωn = ω1 + Ωn , – частота n -ой гармоники ( n = 0, 1, ..., N − 1 ), а Ω –
                    частотный интервал между двумя соседними гармониками. Полоса частот
                    ∆ω , которую занимает спектр S (ω) , и центральная частота ω0 этой полосы
                    равны:
                                    ∆ω = Ω( N − 1) , ω0 = ω1 + ∆ω / 2 .                    (4.9)




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы