Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
46
qt
q
ω∆
π
=
2
( ...,3,2,1
±
±
±
=
q
).
(4.15)
В сигнале со сплошным спектром существует единственный момент
времени
0
=
t
, при котором у бесконечного множества гармоник совпадают
фазы, и амплитуда его огибающей достигает глобального максимума.
Теорема о ширине частотной полосы
Из условия (4.15) можно оценить длительность сигнала с шириной
спектра
ω
∆
. Если за длительность сигнала
t
∆
принять величину, равную
половине интервала, содержащего главный максимум и ограниченного
двумя нулями огибающей )(tA при
1+
t и при
1−
t , то согласно (4.15):
ω∆π=∆ /2t
(4.16)
Отсюда следует соотношение между длительностью сигнала
t
∆
и шириной
его частотного спектра
ω
∆
, называемое теоремой о ширине частотной
полосы:
π
≥
ω
∆
⋅
∆
2t
.
(4.17)
Здесь знак равенства имеет место, если при
0
=
t
у всех гармоник фазы
совпадают. В этом случае сигнал )(tξ называется спектрально
ограниченным. Знак неравенства имеет место, когда фазы гармоник не
совпадают между собой при
0
=
t
. Теорема о ширине частотной полосы
(4.17) справедлива для периодических и уединенных сигналов
произвольной формы. Теорема позволяет просто оценить ширину спектра
ω
∆
по длительности импульса и, наоборот, по ширине спектра оценить
длительность импульса.
Спектр периодического сигнала
Сигнал )(tξ является периодическим, если выполняется условие:
)()(
t
t
+
ξ
=
ξ
,
(4.18)
где
T
– период сигнала. Физически реальные сигналы описываются
функциями времени, которые удовлетворяют условиям Дирихле, то есть
являются ограниченными, кусочно-непрерывными и имеют конечное число
разрывов на периоде
T
. Поэтому сигнал )(tξ можно представить в виде
суммы гармоник Фурье:
∑
∞
=
ω+ω+=ξ
1
0
)sincos(
2
)(
n
nnnn
tbta
a
t
.
(4.19)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    46                                                           §4. Спектры

                                           2π                                       (4.15)
                                     tq =     q ( q = ±1, ± 2, ± 3, ... ).
                                           ∆ω
                    В сигнале со сплошным спектром существует единственный момент
                    времени t = 0 , при котором у бесконечного множества гармоник совпадают
                    фазы, и амплитуда его огибающей достигает глобального максимума.

                                      Теорема о ширине частотной полосы
                            Из условия (4.15) можно оценить длительность сигнала с шириной
                    спектра ∆ω . Если за длительность сигнала ∆t принять величину, равную
                    половине интервала, содержащего главный максимум и ограниченного
                    двумя нулями огибающей A(t ) при t +1 и при t −1 , то согласно (4.15):
                                               ∆t = 2π / ∆ω                             (4.16)
                    Отсюда следует соотношение между длительностью сигнала ∆t и шириной
                    его частотного спектра ∆ω , называемое теоремой о ширине частотной
                    полосы:
                                              ∆t ⋅ ∆ω ≥ 2π .                            (4.17)
                    Здесь знак равенства имеет место, если при t = 0 у всех гармоник фазы
                    совпадают. В этом случае сигнал ξ(t ) называется спектрально
                    ограниченным. Знак неравенства имеет место, когда фазы гармоник не
                    совпадают между собой при t = 0 . Теорема о ширине частотной полосы
                    (4.17) справедлива для периодических и уединенных сигналов
                    произвольной формы. Теорема позволяет просто оценить ширину спектра
                     ∆ω по длительности импульса и, наоборот, по ширине спектра оценить
                    длительность импульса.

                                          Спектр периодического сигнала
                           Сигнал ξ(t ) является периодическим, если выполняется условие:
                                              ξ(t ) = ξ(t + T ) ,                  (4.18)
                    где T – период сигнала. Физически реальные сигналы описываются
                    функциями времени, которые удовлетворяют условиям Дирихле, то есть
                    являются ограниченными, кусочно-непрерывными и имеют конечное число
                    разрывов на периоде T . Поэтому сигнал ξ(t ) можно представить в виде
                    суммы гармоник Фурье:
                                              ∞                                    (4.19)
                                            ∑
                                         a
                                  ξ(t ) = 0 +    (an cos ωnt + bn sin ωn t ) .
                                          2 n =1




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы