Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
47
Представление )(tξ в виде разложения в ряд Фурье означает, что спектр
)(ωS периодического сигнала является дискретным (или линейчатым),
поскольку он содержит только дискретный набор частот
n
ω . Частоты
спектра эквидистантны, интервал
Ω
между ними обратно пропорционален
периоду сигнала
T
:
T/2π=Ω
.
(4.20)
Частоты дискретного спектра Фурье равны:
...,3,2,1,
2
=
π
=Ω=ω nn
T
n
n
.
(4.21)
Амплитуды гармоник Фурье вычисляются следующим образом:
∫∫
+
−
+
−
ωξ=ωξ=
2/
2/
2/
2/
sin)(
2
,cos)(
2
T
T
T
T
nnnn
dttt
T
bdttt
T
a .
(4.22)
Для вычислений более удобна комплексная запись ряда Фурье:
∑
+∞
∞−
ω
=ξ
ti
n
n
edt)(
, где
∫
+
−
ω−
ξ=
2/
2/
)(
1
T
T
ti
n
dtet
T
d
n
.
(4.23)
Дискретный спектр сигнала как сумма символических δ-функций Дирака
записывается в виде:
∑
+∞
∞−
ω−ωδ=ω )()(
nn
dS
.
(4.24)
Коэффициенты разложения
n
d являются комплексными; они
связаны с амплитудами гармоник
n
a и
n
b простыми соотношениями:
)(,
nnnnnn
ddibdda
−−
−=+= .
(4.25)
Реальный сигнал выражается действительной функцией )(tξ . Поэтому
амплитуды
n
a и
n
b – действительные числа, коэффициенты разложения
n
d
удовлетворяют условию
2
*
nn
dd
−
= , и справедливы следующие
соотношения:
nnnn
dbda Im2,Re2 −== .
(4.26)
Если сигнал )(tξ является симметричным относительно начала
отсчета
0
=
t
, то 0Im =
n
d и амплитуды синусоидальных компонент
2
Символ * означает комплексное сопряжение.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §4. Спектры                                                                                             47

                    Представление ξ(t ) в виде разложения в ряд Фурье означает, что спектр
                    S (ω) периодического сигнала является дискретным (или линейчатым),
                    поскольку он содержит только дискретный набор частот ωn . Частоты
                    спектра эквидистантны, интервал Ω между ними обратно пропорционален
                    периоду сигнала T :
                                               Ω = 2π / T .                       (4.20)
                    Частоты дискретного спектра Фурье равны:
                                                2π                                (4.21)
                                     ωn = nΩ =     n, n = 1, 2, 3, ... .
                                                 T
                    Амплитуды гармоник Фурье вычисляются следующим образом:
                                         +T / 2                                     +T / 2
                                     2                                          2
                              an =
                                     T     ∫      ξ(t ) cos ωn t dt , bn =
                                                                                T     ∫ ξ(t ) sin ωnt dt .         (4.22)
                                         −T / 2                                     −T / 2
                    Для вычислений более удобна комплексная запись ряда Фурье:
                                            +∞                                  +T / 2

                                           ∑
                                                                            1
                                                  d n e iωn t , где d n =           ∫ ξ(t ) e
                                                                                                − iω n t
                                 ξ(t) =                                                                    dt .    (4.23)
                                            −∞
                                                                            T
                                                                                −T / 2
                    Дискретный спектр сигнала как сумма символических δ-функций Дирака
                    записывается в виде:
                                                 +∞                           (4.24)
                                         S (ω) =             ∑
                                                    d n δ (ω − ω n ) .
                                                             −∞
                           Коэффициенты разложения d n являются комплексными; они
                    связаны с амплитудами гармоник an и bn простыми соотношениями:
                                    an = d n + d − n , bn = i (d n − d − n ) .   (4.25)
                    Реальный сигнал выражается действительной функцией ξ(t ) . Поэтому
                    амплитуды an и bn – действительные числа, коэффициенты разложения d n
                    удовлетворяют              условию2           d n = d −* n ,       и        справедливы       следующие
                    соотношения:
                                      an = 2 Re d n , bn = −2 Im d n .         (4.26)
                           Если сигнал ξ(t ) является симметричным относительно начала
                    отсчета t = 0 , то Im d n = 0 и амплитуды синусоидальных компонент


                    2
                        Символ * означает комплексное сопряжение.




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы