Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
49
∫
+∞
∞−
ξ= dttW
2
)(
.
(4.31)
Выражения (4.30) и (4.31) соответствуют теореме Планшереля для
разложения Фурье.
На основе (4.30) и (4.31) можно дать энергетическое определение
длительности импульса
W
t∆ и ширины его спектра
W
ω∆ . Энергетическая
длительность
W
t∆ – это время, за которое проходит заданная часть ε
энергии импульса:
Wdtt
W
W
t
t
ε=ξ
∫
∆+
∆−
2/
2/
2
)( .
(4.32)
Аналогично, энергетическая ширина спектра
W
ω∆ – это полоса частот, в
которой содержится заданная часть ε энергии импульса:
∫
ω∆+
ω∆−
ε=ωω
W
W
WdG )( .
(4.33)
Параметр
1
<
ε
, и обычно выбирается
9
,
0
8
,
0
−
=
ε
. Для длительности
импульса
W
t∆ и ширины его спектра
W
ω∆ , определенных по энергии,
теорема о ширине частотной полосы принимает вид:
Ct
WW
=ω∆⋅∆ ,
(4.34)
где величина коэффициента
C
зависит от формы импульса )(tξ . Например,
при неизменной длительности
W
t∆ с возрастанием крутизны фронта
импульса увеличивается коэффициент
C
и, следовательно, ширина
частотной полосы
W
ω∆ спектра импульса.
Свойства спектров Фурье
(а) Линейность. Спектр )(
3
ωS для линейной формы двух (или более)
сигналов )(
1
tξ и )(
2
tξ имеет вид такой же линейной формы, то есть, если
)()(
11
ω↔ξ St , )()(
22
ω↔ξ St и )()()(
22113
ttt ξα+ξα=ξ , то
)()()(
22113
ωα+ωα=ω SSS .
(4.35)
(б) Теорема запаздывания. Если )()( ω↔ξ St , то
0
)()(
0
ti
eStt
ω−
ω↔−ξ .
(4.36)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §4. Спектры                                                                           49

                                                             +∞                                  (4.31)
                                                             ∫
                                                                      2
                                                  W=              ξ(t ) dt .
                                                             −∞
                    Выражения (4.30) и (4.31) соответствуют теореме Планшереля для
                    разложения Фурье.
                            На основе (4.30) и (4.31) можно дать энергетическое определение
                    длительности импульса ∆tW и ширины его спектра ∆ωW . Энергетическая
                    длительность ∆tW – это время, за которое проходит заданная часть ε
                    энергии импульса:
                                           + ∆t W / 2                              (4.32)
                                                    ∫
                                                       2
                                                  ξ(t ) dt = εW .
                                                − ∆t W / 2
                    Аналогично, энергетическая ширина спектра ∆ωW – это полоса частот, в
                    которой содержится заданная часть ε энергии импульса:
                                           + ∆ωW                               (4.33)
                                                   ∫
                                               G (ω) dω = εW .
                                                − ∆ωW
                    Параметр ε < 1 , и обычно выбирается ε = 0,8 − 0,9 . Для длительности
                    импульса ∆tW и ширины его спектра ∆ωW , определенных по энергии,
                    теорема о ширине частотной полосы принимает вид:
                                            ∆tW ⋅ ∆ωW = C ,                        (4.34)
                    где величина коэффициента C зависит от формы импульса ξ(t ) . Например,
                    при неизменной длительности ∆tW с возрастанием крутизны фронта
                    импульса увеличивается коэффициент C и, следовательно, ширина
                    частотной полосы ∆ωW спектра импульса.

                                                      Свойства спектров Фурье
                    (а) Линейность. Спектр S 3 (ω) для линейной формы двух (или более)
                    сигналов ξ1 (t ) и ξ 2 (t ) имеет вид такой же линейной формы, то есть, если
                     ξ1 (t ) ↔ S1 (ω) , ξ 2 (t ) ↔ S 2 (ω) и ξ 3 (t ) = α1ξ1 (t ) + α 2 ξ 2 (t ) , то
                                                S3 (ω) = α1S1 (ω) + α 2 S2 (ω) .                      (4.35)
                    (б) Теорема запаздывания. Если ξ(t ) ↔ S (ω) , то
                                                   ξ(t − t ) ↔ S (ω) e −iωt 0 .
                                                        0
                                                                                                      (4.36)




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы