Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
50
(в) Теорема смещения. Если )()( ω↔ξ St , то
)()(
0
0
ω−ω↔ξ
ω
Set
ti
.
(4.37)
(г) Теорема о свертке в спектральном пространстве. Спектр )(
3
ωS сигнала
)(
3
tξ , представимого произведением двух функций )(
1
tξ и )(
2
tξ , равен
свертке спектров )(
1
ωS и )(
2
ωS этих сомножителей, то есть если
)()(
11
ω↔ξ St , )()(
22
ω↔ξ St и )()()(
213
ttt ξ⋅ξ=ξ , то
)()()(
213
ω⊗ω=ω
∗
SSS ,
(4.38)
где
⊗
– операция свертки, которая определяется следующим образом
∫
+∞
∞−
∗
ζζ−ωζ=ω dSSS )()()(
213
.
(4.39)
(д) Теорема о свертке во времени. Если )()(
11
ω↔ξ St , )()(
22
ω↔ξ St и
)()()(
213
ω⋅ω=ω SSS , то
)()()(
213
ttt
∗
ξ⊗ξ=ξ .
(4.40)
Примеры решения задач
Пример 4.1. Найти спектр сигнала, представляющего собой периодическую
последовательность импульсов прямоугольной формы длительностью τ и
амплитуды a. Период следования импульсов T. Построить амплитудный
спектр сигнала для значений его длительности τ = 0,5T и τ = 0,1T. Найти
спектр одиночного прямоугольного импульса.
Решение. Сигнал ξ(t), представляющий собой бесконечную периодическую
последовательность прямоугольных импульсов, можно разложить в ряд
Фурье:
∑
∞
=
Ω+Ω+=ξ
1
0
)sincos(
2
)(
n
nn
tnbtna
a
t
,
где Ω = 2π/T и T – период последовательности. Пусть нулевой момент
времени совпадает с серединой импульса, тогда ξ(t) – четная функция.
Найдем значения коэффициентов.
T
a
adt
T
dtt
T
a
T
T
τ
==ξ=
∫∫
τ
τ−−
2/
2/
2/
2/
0
1
)(
1
2
,
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    50                                                                              §4. Спектры

                    (в) Теорема смещения. Если ξ(t ) ↔ S (ω) , то
                                                  ξ(t ) e iω 0 t ↔ S (ω − ω0 ) .                (4.37)
                    (г) Теорема о свертке в спектральном пространстве. Спектр S 3 (ω) сигнала
                     ξ 3 (t ) , представимого произведением двух функций ξ1 (t ) и ξ 2 (t ) , равен
                    свертке спектров S1 (ω) и S 2 (ω) этих сомножителей, то есть если
                     ξ1 (t ) ↔ S1 (ω) , ξ 2 (t ) ↔ S 2 (ω) и ξ 3 (t ) = ξ1 (t ) ⋅ ξ 2 (t ) , то
                                              3   S (ω) = S (ω) ⊗ S ∗ (ω) ,
                                                              1           2
                                                                                                (4.38)
                    где ⊗ – операция свертки, которая определяется следующим образом
                                              +∞                                  (4.39)
                                                        ∫
                                      S3 (ω) = S1 (ζ )S 2∗ (ω − ζ)dζ .
                                                        −∞
                    (д) Теорема о свертке во времени. Если ξ1 (t ) ↔ S1 (ω) , ξ 2 (t ) ↔ S 2 (ω) и
                     S3 (ω) = S1 (ω) ⋅ S 2 (ω) , то
                                                  3ξ (t ) = ξ (t ) ⊗ ξ∗ (t ) .
                                                               1         2
                                                                                        (4.40)

                                                   Примеры решения задач

                    Пример 4.1. Найти спектр сигнала, представляющего собой периодическую
                    последовательность импульсов прямоугольной формы длительностью τ и
                    амплитуды a. Период следования импульсов T. Построить амплитудный
                    спектр сигнала для значений его длительности τ = 0,5T и τ = 0,1T. Найти
                    спектр одиночного прямоугольного импульса.
                    Решение. Сигнал ξ(t), представляющий собой бесконечную периодическую
                    последовательность прямоугольных импульсов, можно разложить в ряд
                    Фурье:
                                                      a0 ∞
                                        ξ (t ) =        +
                                                      2 n =1 ∑
                                                             (an cos nΩt + bn sin nΩt ) ,

                    где Ω = 2π/T и T – период последовательности. Пусть нулевой момент
                    времени совпадает с серединой импульса, тогда ξ(t) – четная функция.
                    Найдем значения коэффициентов.
                                                             T /2                 τ/ 2
                                            a0 1                              1            aτ
                                              =
                                            2 T               ∫   ξ(t )dt =
                                                                              T     ∫ adt = T   ,
                                                            −T / 2                −τ / 2




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы