Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Спектры
51
,sinc
2
sin2
)sin(
2
)cos(
2
)cos()(
2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
τπτ
=
τπ
π
=
=Ω
Ω
=Ω=Ωξ=
τ
τ−
τ
τ−−
∫∫
T
n
T
a
T
n
n
a
tn
Tn
a
dttn
T
a
dttnt
T
a
T
T
n
где
xxx /)sin()sinc( ≡
.
Ясно, что b
n
= 0 при любом n, так как при вычислении этих коэффициентов
производится интегрирование нечетной функции в симметричных пределах.
Из полученных выражений видно, что коэффициенты ряда Фурье
знакопеременны, убывают с увеличением n и могут периодически
обращаться в ноль.
Пусть период последовательности импульсов T в M раз больше
длительности импульса τ: T = Mτ. Видно, что a
n
= 0, если
j
T
n
π=
τπ
(j = 1, 2, 3, …), то есть n = Mj (полученное условие выполняется при
рациональном M). Для заданной последовательности τ = 0,5T (M = 2) в ноль
обращаются все четные коэффициенты a
n
. Для последовательности c
τ = 0,1T (M = 10) нулевыми коэффициентами являются десятый, двадцатый,
тридцатый и так далее. Значения коэффициентов для заданных
последовательностей вычисляются по формулам
π
=
2
sinc
n
aa
n
и
π
=
10
sinc
5
na
a
n
. В случае последовательности с τ = 0,5T абсолютное
значение n-го нечетного коэффициента в n раз меньше первого
коэффициента.
Спектр одиночного прямоугольного импульса η(t), представляющего собой
непериодическую функцию, находим при помощи интеграла Фурье:
ωωω+ωωω=η
∫∫
∞∞
dtBdtAt )cos()()sin()()(
00
.
Выражения для функций A(ω) и B(ω), определяющих спектр импульса,
имеют вид
dtttA )sin()(
1
)( ωη
π
=ω
∫
∞
∞−
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §4. Спектры                                                                                       51

                                    T /2                              τ/2                                   τ/2
                                2                                2a                           2a
                         an =
                                T     ∫   ξ(t ) cos( nΩt )dt =
                                                                 T      ∫   cos( nΩt )dt =
                                                                                             TnΩ
                                                                                                 sin(nΩt )
                                                                                                           −τ / 2
                                                                                                                  =
                                    −T / 2                            −τ / 2
                                                      a       πnτ  2aτ      πnτ 
                                                 =      2 sin     =    sinc     ,
                                                     πn        T    T       T 
                    где sinc( x) ≡ sin( x) / x .
                    Ясно, что bn = 0 при любом n, так как при вычислении этих коэффициентов
                    производится интегрирование нечетной функции в симметричных пределах.
                    Из полученных выражений видно, что коэффициенты ряда Фурье
                    знакопеременны, убывают с увеличением n и могут периодически
                    обращаться в ноль.
                    Пусть период последовательности импульсов T в M раз больше
                                                                                    πnτ
                    длительности импульса τ: T = Mτ. Видно, что an = 0, если            = πj
                                                                                     T
                    (j = 1, 2, 3, …), то есть n = Mj (полученное условие выполняется при
                    рациональном M). Для заданной последовательности τ = 0,5T (M = 2) в ноль
                    обращаются все четные коэффициенты an. Для последовательности c
                    τ = 0,1T (M = 10) нулевыми коэффициентами являются десятый, двадцатый,
                    тридцатый и так далее. Значения коэффициентов для заданных
                                                                                     πn
                    последовательностей вычисляются по формулам a n = asinc  и
                                                                                    2 
                          a       πn 
                     an = sinc  . В случае последовательности с τ = 0,5T абсолютное
                          5       10 
                    значение n-го нечетного коэффициента в n раз меньше первого
                    коэффициента.
                    Спектр одиночного прямоугольного импульса η(t), представляющего собой
                    непериодическую функцию, находим при помощи интеграла Фурье:
                                                     ∞                         ∞

                                                     ∫                         ∫
                                             η(t ) = A(ω) sin( ωt ) dω + B(ω) cos(ωt )dω .
                                                     0                         0
                    Выражения для функций A(ω) и B(ω), определяющих спектр импульса,
                    имеют вид
                                                                      ∞
                                                                  1
                                                         A(ω) =
                                                                  π   ∫ η(t ) sin(ωt )dt
                                                                      −∞




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы