Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Спектральный анализ на компьютере
58
...,2,1),()( ±±=+ξ=ξ ssNjj
hh
.
(5.4)
Число отсчетов дискретного времени на периоде сигнала равно
N
, и,
следовательно, выполняется соотношение:
NhT =
.
(5.5)
Таким образом, дискретное преобразование Фурье устанавливает
взаимно однозначную связь (5.1) между периодической функцией
дискретного аргумента )( j
h
ξ и периодическим дискретным спектром
)(nS
h
. При этом число отчетов дискретного сигнала )( j
h
ξ на его периоде
T
и число гармоник дискретного спектра )(nS
h
на его периоде
h/1
одинаково и равно
N
.
Формулы дискретного преобразования Фурье имеют следующий
вид.
Вычисление спектра )(nS
h
по сигналу )( j
h
ξ – прямое преобразование:
∑
=
ξ=
N
j
nj
Nhh
Wj
N
nS
1
)(
1
)( ,
N
n
...,,2,1
=
.
(5.6)
Вычисление сигнала )( j
h
ξ по спектру )(nS
h
– обратное преобразование:
∑
=
−
=ξ
N
n
nj
N
hh
WnSj
1
)()(
,
N
j
...,,2,1
=
,
(5.7)
где
π
=
N
iW
N
2
exp .
Комплексные амплитуды гармоник
nj
N
W обладают свойствами
ортогональности, как для разных частот
n
и
n
′
в пространстве переменной
j
, так и для разных отсчетов
j
и j
′
в пространстве частот
n
:
∑
=
′
−
′
≠
′
=
=
N
j
jn
N
nj
N
nn
nnN
WW
1
при0
при
,
∑
=
′
−
′
≠
′
=
=
N
n
jn
N
nj
N
jj
jjN
WW
1
при0
при
.
(5.8)
Для дискретного преобразования Фурье справедливы свойства,
аналогичные свойствам (4.35)–(4.40) для непрерывного преобразования.
Если оригинал )( j
h
ξ и его образ )(nS
h
связаны между собой дискретным
преобразованием Фурье (5.1), то имеют место следующие утверждения:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    58                                          §5. Спектральный анализ на компьютере

                                     ξ h ( j ) = ξ h ( j + sN ), s = ±1, ± 2, ... .       (5.4)
                    Число отсчетов дискретного времени на периоде сигнала равно N , и,
                    следовательно, выполняется соотношение:
                                                          T = Nh .                        (5.5)
                              Таким образом, дискретное преобразование Фурье устанавливает
                    взаимно однозначную связь (5.1) между периодической функцией
                    дискретного аргумента ξ h ( j ) и периодическим дискретным спектром
                    S h (n) . При этом число отчетов дискретного сигнала ξ h ( j ) на его периоде
                    T и число гармоник дискретного спектра S h (n) на его периоде 1 / h
                    одинаково и равно N .
                              Формулы дискретного преобразования Фурье имеют следующий
                    вид.
                    Вычисление спектра S h (n) по сигналу ξ h ( j ) – прямое преобразование:
                                                     N

                                                  ∑
                                              1
                                 S h ( n) =            ξ h ( j ) WNnj , n = 1, 2, ..., N .    (5.6)
                                              N   j =1

                    Вычисление сигнала ξ h ( j ) по спектру S h (n) – обратное преобразование:
                                              N
                                  ξh ( j) =   ∑ Sh (n) WN− nj ,      j = 1, 2, ..., N ,       (5.7)
                                              n =1

                                  2π 
                    где W N = exp i  .
                                  N 
                              Комплексные амплитуды гармоник WNnj обладают свойствами
                    ортогональности, как для разных частот n и n′ в пространстве переменной
                     j , так и для разных отсчетов j и j′ в пространстве частот n :
                                        N
                                                               N при n = n′
                                       ∑
                                       j =1
                                            WN− nj WNn ′j =              ,
                                                            0 при n ≠ n′                    (5.8)
                                        N
                                                               N при j = j ′
                                       ∑ WN−nj WNnj′ = 0 при j ≠ j ′  .
                                       n =1
                           Для дискретного преобразования Фурье справедливы свойства,
                    аналогичные свойствам (4.35)–(4.40) для непрерывного преобразования.
                    Если оригинал ξ h ( j ) и его образ S h (n) связаны между собой дискретным
                    преобразованием Фурье (5.1), то имеют место следующие утверждения:




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы