Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Спектральный анализ на компьютере
60
Если максимальная частота
max
ν в спектре )(νS исходного сигнала
меньше частоты Найквиста
N
ν , то непрерывный сигнал )(tξ полностью
восстанавливается по дискретному спектру )(nS
h
, содержащему конечное
число
N
гармоник. Это означает, что конечный ряд Фурье, вычисленный
для непрерывного множества значений времени
t
, совпадает с сигналом
)(tξ . Спектр )(nS
h
однозначно определяет дискретные значения )( j
h
ξ
сигнала, и восстановление непрерывного сигнала )(tξ может быть
осуществлено по интерполяционной формуле Котельникова–Шеннона:
∑
−
π
−
π
ξ=ξ
)(
)(sin
)()(
hjt
h
hjt
h
jt
h
.
(5.16)
Если максимальная частота
max
ν в спектре )(νS исходного сигнала
больше частоты Найквиста
N
ν , то значения сигнала, полученного по
дискретному спектру )(nS
h
, совпадают с его величиной )(tξ только в
моменты времени hjt = , которые являются узлами наложенной сетки.
Тогда как, при других значениях времени hjt ≠ , не совпадающих с узлами,
сигнал, получаемый по спектру )(nS
h
, отличается от )(tξ . Эти отклонения,
называемые осцилляциями Гиббса, возникают вследствие наложения частот
при периодизации спектра в дискретном преобразовании Фурье. Если
спектр )(νS исходного сигнала определен на бесконечной оси частот
(
+∞
<
ν
<
−∞
), то частоту Найквиста
N
ν выбирают из условия:
)(max)(
N
ν<<ν SS .
(5.17)
Неизбежная периодизация сигнала при дискретном преобразовании
Фурье равносильна суммированию бесконечного множества его значений
)( sTt +ξ , сдвинутых по времени на ...,2,1
±
±
=
s
периодов
T
:
∑
+∞
−∞=
+ξ=ξ
s
sTtt )()(
.
(5.18)
Отсюда следует, что на границах периода
T
сигнал должен обращаться в
ноль, чтобы его «хвосты» не накладывались друг на друга при
периодизации в дискретном преобразовании Фурье. В противном случае,
возникают погрешности, вызванные периодизацией сигнала. Если сигнал
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    60                                          §5. Спектральный анализ на компьютере

                              Если максимальная частота ν max в спектре S (ν) исходного сигнала
                    меньше частоты Найквиста ν N , то непрерывный сигнал ξ(t ) полностью
                    восстанавливается по дискретному спектру S h (n) , содержащему конечное
                    число N гармоник. Это означает, что конечный ряд Фурье, вычисленный
                    для непрерывного множества значений времени t , совпадает с сигналом
                     ξ(t ) . Спектр S h (n) однозначно определяет дискретные значения ξ h ( j )
                    сигнала, и восстановление непрерывного сигнала ξ(t ) может быть
                    осуществлено по интерполяционной формуле Котельникова–Шеннона:
                                                                π          
                                                             sin (t − hj )             (5.16)
                                                                           .
                                            ∑
                                                                  h
                                         ξ(t ) =     ξh ( j)
                                                                π
                                                                  (t − hj )
                                                                h
                              Если максимальная частота ν max в спектре S (ν) исходного сигнала
                    больше частоты Найквиста ν N , то значения сигнала, полученного по
                    дискретному спектру S h (n) , совпадают с его величиной ξ(t ) только в
                    моменты времени t = hj , которые являются узлами наложенной сетки.
                    Тогда как, при других значениях времени t ≠ hj , не совпадающих с узлами,
                    сигнал, получаемый по спектру S h (n) , отличается от ξ(t ) . Эти отклонения,
                    называемые осцилляциями Гиббса, возникают вследствие наложения частот
                    при периодизации спектра в дискретном преобразовании Фурье. Если
                    спектр S (ν) исходного сигнала определен на бесконечной оси частот
                    ( −∞ < ν < +∞ ), то частоту Найквиста ν N выбирают из условия:
                                                S (ν N ) << max S (ν) .                  (5.17)
                             Неизбежная периодизация сигнала при дискретном преобразовании
                    Фурье равносильна суммированию бесконечного множества его значений
                    ξ(t + sT ) , сдвинутых по времени на s = ±1, ± 2, ... периодов T :
                                                        +∞
                                            ξ (t ) =   ∑ ξ(t + sT ) .                        (5.18)
                                                       s = −∞
                    Отсюда следует, что на границах периода T сигнал должен обращаться в
                    ноль, чтобы его «хвосты» не накладывались друг на друга при
                    периодизации в дискретном преобразовании Фурье. В противном случае,
                    возникают погрешности, вызванные периодизацией сигнала. Если сигнал




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы