Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Спектральный анализ на компьютере
59
(а) Линейность. Если )()(
)1()1(
nSj
hh
↔ξ и )()(
)2()2(
nSj
hh
↔ξ , то
)()()()(
)2(
)2(
)1(
)1(
)2(
)2(
)1(
)1(
nSnSjj
hhhh
α+α↔ξα+ξα .
(5.9)
(б) Теорема запаздывания. Если )()( nSj
hh
↔ξ , то
)()( nSWkj
h
nk
Nh
−
↔−ξ .
(5.10)
(в) Теорема смещения. Если )()( nSj
hh
↔ξ , то
)()( mnSWj
h
mj
Nh
−↔ξ .
(5.11)
(г) Теоремы о свертке. Если )()(
)1()1(
nSj
hh
↔ξ и )()(
)2()2(
nSj
hh
↔ξ , то
)()()()(
)2()1()2()1(
nSnSjj
hhhh
⋅↔ξ⊗ξ
(5.12)
или )()()()(
)2()1()2()1(
nSnSjj
hhhh
⊗↔ξ⋅ξ ,
(5.13)
где
∑
=
−ξξ=ξ⊗ξ
N
k
hhhh
kjk
N
jj
1
)2()1()2()1(
)()(
1
)()(
– свертка в дискретном
пространстве.
Частота Найквиста
Периодизацию спектра )(ν
h
S при дискретизации времени в
сигнале )(tξ можно представить как результат суммирования бесконечного
множества спектров )/( hqS
h
±ν , сдвигаемых на ...,2,1
±
±
=
q
периодов,
равных
h/1
:
∑
+∞
−∞=
+ν=ν
q
hh
hqSS )/()( .
(5.14)
Из этого представления следует, что в спектре исходного сигнала )(tξ
частота
ν
должна быть ограниченной, чтобы не происходило перекрытия
(наложения) гармоник на «хвостах» спектров при суммировании по (5.14).
Верхняя граница частотной полосы, при которой не происходит наложения
частот при периодизации спектра в дискретном преобразовании Фурье,
называется частотой Найквиста
N
ν :
h2/1
N
=ν ,
(5.15)
где
h
– шаг дискретизации времени в сигнале )(tξ при переходе к функции
дискретного аргумента )( j
h
ξ .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §5. Спектральный анализ на компьютере                                                                     59


                    (а) Линейность. Если ξ h (1) ( j ) ↔ S h (1) (n) и ξ h ( 2 ) ( j ) ↔ S h ( 2 ) (n) , то
                          α (1) ξ h (1) ( j ) + α ( 2) ξ h ( 2 ) ( j ) ↔ α (1) S h (1) (n) + α ( 2) S h ( 2) (n) .    (5.9)
                    (б) Теорема запаздывания. Если ξ h ( j ) ↔ S h (n) , то
                                        ξ h ( j − k ) ↔ WN− nk S h (n) .                                             (5.10)
                    (в) Теорема смещения. Если ξ h ( j ) ↔ S h (n) , то
                                                      ξ h ( j ) WNmj ↔ S h (n − m) .                                 (5.11)

                    (г) Теоремы о свертке. Если ξ h (1) ( j ) ↔ S h (1) (n) и ξ h ( 2 ) ( j ) ↔ S h ( 2 ) (n) , то
                                  ξ (1) ( j ) ⊗ ξ ( 2 ) ( j ) ↔ S (1) (n) ⋅ S ( 2 ) (n)                     (5.12)
                                            h               h                   h          h

                                      или ξ h ( j ) ⋅ ξ h
                                                (1)             (2)
                                                                       ( j ) ↔ S h (n) ⊗ S h ( 2 ) (n) ,
                                                                                    (1)                              (5.13)
                                                                   N

                                                                ∑ ξ h (1) (k ) ξ h ( 2) ( j − k )
                                                           1
                    где ξ h (1) ( j ) ⊗ ξ h ( 2) ( j ) =                                            – свертка в дискретном
                                                           N    k =1
                    пространстве.

                                               Частота Найквиста
                           Периодизацию спектра S h (ν) при дискретизации времени в
                    сигнале ξ(t ) можно представить как результат суммирования бесконечного
                    множества спектров S h (ν ± q / h) , сдвигаемых на q = ±1, ± 2, ... периодов,
                    равных 1 / h :
                                                                       +∞
                                                      S h (ν ) =    ∑ S h (ν + q / h)
                                                                   q = −∞
                                                                                           .                         (5.14)

                    Из этого представления следует, что в спектре исходного сигнала ξ(t )
                    частота ν должна быть ограниченной, чтобы не происходило перекрытия
                    (наложения) гармоник на «хвостах» спектров при суммировании по (5.14).
                    Верхняя граница частотной полосы, при которой не происходит наложения
                    частот при периодизации спектра в дискретном преобразовании Фурье,
                    называется частотой Найквиста ν N :
                                              ν N = 1 / 2h ,                      (5.15)
                    где h – шаг дискретизации времени в сигнале ξ(t ) при переходе к функции
                    дискретного аргумента ξ h ( j ) .




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы