Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Спектральный анализ на компьютере
61
)(tξ определен на бесконечной оси времени (
+∞
<
<
−∞
t
), то период
T
выбирается из условия:
)(max)2/( tT ξ<<±ξ .
(5.19)
Увеличение частоты Найквиста
N
ν путем уменьшения шага
дискретизации времени
h
и одновременно увеличение периода
T
сигнала
)(tξ позволяют минимизировать погрешность, возникающую при
вычислении спектров Фурье на компьютере. Однако, такая минимизация
погрешности неизбежно влечет увеличение вычислительных затрат, так как
возрастает размерность массивов, равная
hTN /=
. Качественный анализ
сигналов и их спектров на основе физических закономерностей
преобразования Фурье позволяет оптимизировать вычислительные затраты.
Пример решения задачи
Пример 5.1. Оценить шаг дискретизации
h
и время регистрации
T
сигнала
(
)
2
0
2
exp)( τ−=ξ tat для вычисления его спектра при помощи дискретного
преобразования Фурье. Определить число точек при дискретизации.
Оценить частоту Найквиста
N
ν .
Решение. Используя формулу преобразования Фурье (см. §4), можно
показать, что спектр сигнала с точностью до множителя имеет вид:
(
)
4exp~)(
2
0
2
τω−ωS или )exp(~)(
2
0
22
τνπ−νS , где
πν
=
2
.
Видно, что функция, определяющая спектр сигнала, убывает в e раз при
частоте )(1
0
πτ=ν
e
.
Частота Найквиста
N
ν должна быть больше максимальной частоты
в спектре сигнала. Строго говоря, для приведенного спектра не существует
граничной (максимальной) частоты. В связи с этим необходимо
использовать некоторое приближение. Видно, что функция, определяющая
спектр, быстро убывает с увеличением частоты. Определим значение
частоты, при котором функция )(νS убывает, например, на десять порядков
по сравнению с максимальным значением )0( =νS , которое достигается
при
0
=
ν
. Ясно, что такую частоту можно приближенно считать границей
спектра, то есть максимальной частой
max
ν . Итак, согласно принятому
предположению имеем:
10–2
0
2
max
2
10)exp( ≈τνπ− . Отсюда, следует
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §5. Спектральный анализ на компьютере                                            61

                    ξ(t ) определен на бесконечной оси времени ( −∞ < t < +∞ ), то период T
                    выбирается из условия:
                                          ξ(±T / 2) << max ξ(t ) .                  (5.19)
                            Увеличение частоты Найквиста ν N путем уменьшения шага
                    дискретизации времени h и одновременно увеличение периода T сигнала
                    ξ(t ) позволяют минимизировать погрешность, возникающую при
                    вычислении спектров Фурье на компьютере. Однако, такая минимизация
                    погрешности неизбежно влечет увеличение вычислительных затрат, так как
                    возрастает размерность массивов, равная N = T / h . Качественный анализ
                    сигналов и их спектров на основе физических закономерностей
                    преобразования Фурье позволяет оптимизировать вычислительные затраты.

                                               Пример решения задачи

                    Пример 5.1. Оценить шаг дискретизации h и время регистрации T сигнала
                               (          )
                    ξ(t ) = a exp − t 2 τ 02 для вычисления его спектра при помощи дискретного
                    преобразования Фурье. Определить число точек при дискретизации.
                    Оценить частоту Найквиста ν N .
                    Решение. Используя формулу преобразования Фурье (см. §4), можно
                    показать, что спектр сигнала с точностью до множителя имеет вид:
                                      (            )
                             S (ω) ~ exp − ω 2 τ 02 4 или S (ν) ~ exp(− π2 ν 2 τ02 ) , где ω = 2πν .
                    Видно, что функция, определяющая спектр сигнала, убывает в e раз при
                    частоте ν e = 1 (πτ 0 ) .
                              Частота Найквиста ν N должна быть больше максимальной частоты
                    в спектре сигнала. Строго говоря, для приведенного спектра не существует
                    граничной (максимальной) частоты. В связи с этим необходимо
                    использовать некоторое приближение. Видно, что функция, определяющая
                    спектр, быстро убывает с увеличением частоты. Определим значение
                    частоты, при котором функция S (ν) убывает, например, на десять порядков
                    по сравнению с максимальным значением S (ν = 0) , которое достигается
                    при ν = 0 . Ясно, что такую частоту можно приближенно считать границей
                    спектра, то есть максимальной частой ν max . Итак, согласно принятому
                    предположению         имеем:       exp(−π2ν 2max τ02 ) ≈ 10–10 .   Отсюда,   следует




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы