Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 74 стр.

                    74                                                  §6. Дисперсия волн. Передача информации

                    В бегущей системе координат (6.11) огибающая A( x ′, η) описывается
                    уравнением параболического типа с мнимым коэффициентом:
                                        ∂A( x′, η) ∂ 2 k ∂ 2 A( x′, η)
                                     2i           + 2                  =0.            (6.19)
                                          ∂x ′      ∂ω       ∂η2
                            Автомодельным решением уравнений (6.18) и (6.19) является
                    гауссовая форма огибающей волнового пакета, которая записывается
                    следующим образом:
                                   τ             η2                ∂ 2k  η2 x′ 
                                                                                      (6.20)
                         A( x ′, η) = A0      0
                                                      exp − 2        exp − isign                            ,
                                           τ ( x ′)       2τ ( x ′)               ∂ω 2  τ 2 ( x ′) L        
                                                                                                     дисп   


                    где τ( x ′) = τ 0 1 + (x ′ Lдисп )2 – длительность импульса на расстоянии x' и
                                   τ 02
                     Lдисп =                      – дисперсионная длина, равная расстоянию на котором
                               ∂ 2 k ∂ω 2

                    длительность огибающей волнового пакета увеличивается в                                      2 раз.

                                                             Примеры решения задач

                    Пример 6.1. Представить групповую скорость электромагнитной волны как
                    функцию показателя преломления и его производной, зависящих от
                    1) длины волны и 2) частоты.
                    Решение. 1) Используя формулу Релея (6.13) и соотношение n = c /Vф ,
                                               1    d  1            c  λ dn 
                    получаем выражение Vгр = c − λ       или Vгр = 1 +    .
                                                n   dλ  
                                                          n             n  n dλ 
                    2) Переход к производной показателя преломления по частоте можно
                    осуществить прямым преобразованием полученного выражения с
                                                       2πc      dn dn dω
                    использованием соотношений λ =          и      =       . Однако, проще
                                                       nω       dλ dω dλ
                                                                                      dk
                    воспользоваться определением групповой скорости в виде Vгр −1 =      и
                                                                                     dω
                    соотношением k = nω / c .
                                                                                                                  −1
                                                                      n ω dn        c  ω dn 
                    В этом случае получаем Vгр −1 =                    +     и Vгр = 1 +       .
                                                                      c c dω        n    n dω 




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com