Физика волновых процессов. Кандидов В.П - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Дисперсия волн. Передача информации
75
Используя определение фазовой скорости, полученные соотношения можно
записать в виде
1
ф
гр
11
−
ω
ω
+=
λ
λ
+=
d
dn
nd
dn
nV
V
. Заметим, что такое
представление полезно при анализе соотношения фазовой и групповой
скоростей в областях нормальной и аномальной дисперсии.
Пример 6.2. Найти групповую скорость волны по известной фазовой
скорости для 1) акустической волны в воздухе ( aV =
ф
), 2) поперечной
упругой волны в стержне ( λ= /
ф
bV ), 3) глубоководной волны ( λ= cV
ф
)
(a, b и c – константы).
Решение. Воспользуемся формулой Релея (6.13). В первом случае фазовая
скорость постоянна, поэтому
фгр
VV = . Во втором случае имеем
ф
2
гр
2V
bb
V =
λ
λ
+
λ
= . В третьем случае групповая скорость определяется
выражением
2
2
ф
гр
V
c
cV =
λ
λ
−λ= .
Пример 6.3. Относительная диэлектрическая проницаемость ионизованного
газа определяется выражением
(
)
2
пл
/1 ωω−=ε , где ω
пл
– значение
плазменной частоты. Используя приведенную зависимость ε(ω), получить
дисперсионную формулу
222
пл
2
kc+ω=ω . Найти выражения для фазовой и
групповой скоростей.
Решение. Используя соотношения ε=n и
ф
/Vcn = , получаем выражение
для фазовой скорости:
()
[
]
2/1
2
плфф
/1)(
−
ωω−=ω= cVV . Преобразуем это
соотношение к виду
2
ф
222
пл
//1 Vc=ωω− . Подставляя выражение kV /
ф
ω=
для фазовой скорости, получаем:
22222
пл
//1 ω=ωω− kc . Затем, умножив
обе части равенства на ω
2
, находим требуемое дисперсионное соотношение:
222
пл
2
kc+ω=ω .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    §6. Дисперсия волн. Передача информации                                       75

                    Используя определение фазовой скорости, полученные соотношения можно
                                        Vгр  λ dn   ω dn  −1
                    записать в виде         = 1 +     = 1 +       . Заметим, что такое
                                        Vф  n dλ            n dω 
                    представление полезно при анализе соотношения фазовой и групповой
                    скоростей в областях нормальной и аномальной дисперсии.

                    Пример 6.2. Найти групповую скорость волны по известной фазовой
                    скорости для 1) акустической волны в воздухе ( Vф = a ), 2) поперечной
                    упругой волны в стержне ( Vф = b / λ ), 3) глубоководной волны ( Vф = c λ )
                    (a, b и c – константы).

                    Решение. Воспользуемся формулой Релея (6.13). В первом случае фазовая
                    скорость постоянна, поэтому Vгр = Vф . Во втором случае имеем
                         b λb
                     Vгр = +   = 2Vф . В третьем случае групповая скорость определяется
                         λ λ2
                                            λc   Vф
                    выражением Vгр = c λ −     =    .
                                           2 λ    2

                    Пример 6.3. Относительная диэлектрическая проницаемость ионизованного
                    газа определяется выражением ε = 1 − (ωпл / ω)2 , где ωпл – значение
                    плазменной частоты. Используя приведенную зависимость ε(ω), получить
                    дисперсионную формулу ω2 = ω2пл + c 2 k 2 . Найти выражения для фазовой и
                    групповой скоростей.
                    Решение. Используя соотношения n = ε и n = c /Vф , получаем выражение

                                                            [
                    для фазовой скорости: Vф = Vф (ω) = c 1 − (ωпл / ω)2   ]
                                                                           −1 / 2
                                                                                    . Преобразуем это
                    соотношение к виду 1 − ωпл
                                            2
                                               / ω2 = c 2 / Vф2 . Подставляя выражение Vф = ω / k
                    для фазовой скорости, получаем: 1 − ω2пл / ω2 = c 2 k 2 / ω2 . Затем, умножив
                    обе части равенства на ω2, находим требуемое дисперсионное соотношение:
                    ω2 = ω2пл + c 2 k 2 .




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы