Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
Комплексные числа. Многочлены
§ 1. Комплексные числа
1. Хорошо известно, что не всякое квадратное уравнение имеет
решение. Самый простой пример — уравнение
x
2
+ 1 = 0. (1.1)
Ситуация меняется, если ввести в рассмотрение новое число, так на-
зываемую мнимую единицу. Будем обозначать ее через i и полагать,
что
i
2
= −1.
Тогда уравнение (1.1) будет иметь корень α
1
= i. Естественно поло-
жить, что (−i)
2
= (−1)
2
i
2
= −1. Тогда и число α
2
= −i является
корнем уравнения (1.1), т. е. уравнение (1.1), как и аналогичное урав-
нение
x
2
− 1 = 0,
имеет два различных корня. Рассматривая уравнение
x
2
+ q = 0,
где q > 0, естественно принять, что оно имеет два корня
α
1
= i
√
q и α
2
= −i
√
q.
Числа вида ib, где b — вещественное число, называют мнимыми.
Рассмотрим теперь общее квадратное уравнение, записывая его
для удобства в приведенном виде:
x
2
− 2px + q = 0. (1.2)
Элементарные преобразования дают
(x − p)
2
+ q − p
2
= 0.
Будем считать, что q − p
2
> 0, т. е. дискриминант уравнения (1.2)
отрицателен.
                              Глава 1
           Комплексные числа. Многочлены


                    § 1. Комплексные числа

   1. Хорошо известно, что не всякое квадратное уравнение имеет
решение. Самый простой пример — уравнение
                             x2 + 1 = 0.                         (1.1)
Ситуация меняется, если ввести в рассмотрение новое число, так на-
зываемую мнимую единицу. Будем обозначать ее через i и полагать,
что
                             i2 = −1.
Тогда уравнение (1.1) будет иметь корень α1 = i. Естественно поло-
жить, что (−i)2 = (−1)2 i2 = −1. Тогда и число α2 = −i является
корнем уравнения (1.1), т. е. уравнение (1.1), как и аналогичное урав-
нение
                              x2 − 1 = 0,
имеет два различных корня. Рассматривая уравнение
                             x2 + q = 0,
где q > 0, естественно принять, что оно имеет два корня
                            √              √
                      α1 = i q и α2 = −i q.
   Числа вида ib, где b — вещественное число, называют мнимыми.
   Рассмотрим теперь общее квадратное уравнение, записывая его
для удобства в приведенном виде:
                          x2 − 2px + q = 0.                      (1.2)
Элементарные преобразования дают
                        (x − p)2 + q − p2 = 0.
Будем считать, что q − p2 > 0, т. е. дискриминант уравнения (1.2)
отрицателен.

Страницы