Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Комплексные числа 7
Комплексное число вида 0+0i называется нулевым. Будем обозна-
чать его символом 0. Для любого комплексного числа z справедливы
равенства
z + 0 = z, 0 + z = z.
Определяя произведение комплексных чисел, будем действовать,
как при перемножении обычных двучленов, учитывая при этом,
что i
2
= −1. Получаем, таким образом,
z
1
z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
) = x
1
x
2
− y
1
y
2
+ i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
),
т. е. по определению
Re (z
1
z
2
) = Re z
1
Re z
2
− Im z
1
Im z
2
, (2.1)
Im (z
1
z
2
) = Re z
1
Im z
2
+ Re z
2
Im z
1
. (2.2)
Вычислим, например, произведение чисел z
1
= 1 + i2 и z
2
= 3 + i4:
z
1
z
2
= (1 + i2) · (3 + i4) = (1 · 3 − 2 · 4) + i(1 · 4 + 3 · 2) = −5 + i10.
Для любого комплексного числа z
z0 = 0z = 0.
Упражнение. Убедиться, что определенные выше операции сло-
жения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойства-
ми, что и соответствующие операции над вещественными числами:
1) z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
, z
1
z
2
= z
2
z
1
— коммутативность, или пере-
становочность;
2) (z
1
+ z
2
) + z
3
= z
1
+ (z
2
+ z
3
), (z
1
z
2
)z
3
= z
1
(z
2
z
3
) — ассоциатив-
ность, или сочетательность;
3) (z
1
+ z
2
)z
3
= z
1
z
3
+ z
2
z
3
— дистрибутивность, или распреде-
лительность.
По определению полагаем z
2
= zz, и, вообще,
z
n
= zz ···z,
где сомножитель повторяется n раз.
Упражнение. Непосредственной подстановкой показать, что
формулы (1.3) дают корни уравнения (1.2).
Комплексное число z назовем результатом деления комплексного
числа z
1
на z
2
, если
zz
2
= z
1
. (2.3)
§ 1. Комплексные числа                                                                      7


   Комплексное число вида 0+0i называется нулевым. Будем обозна-
чать его символом 0. Для любого комплексного числа z справедливы
равенства
                      z + 0 = z, 0 + z = z.
   Определяя произведение комплексных чисел, будем действовать,
как при перемножении обычных двучленов, учитывая при этом,
что i2 = −1. Получаем, таким образом,
       z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ),
т. е. по определению
                      Re (z1 z2 ) = Re z1 Re z2 − Im z1 Im z2 ,                          (2.1)
                      Im (z1 z2 ) = Re z1 Im z2 + Re z2 Im z1 .                          (2.2)

    Вычислим, например, произведение чисел z1 = 1 + i2 и z2 = 3 + i4:

          z1 z2 = (1 + i2) · (3 + i4) = (1 · 3 − 2 · 4) + i(1 · 4 + 3 · 2) = −5 + i10.

    Для любого комплексного числа z
                                       z0 = 0z = 0.
    Упражнение. Убедиться, что определенные выше операции сло-
жения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойства-
ми, что и соответствующие операции над вещественными числами:
    1) z1 + z2 = z2 + z1 , z1 z2 = z2 z1 — коммутативность, или пере-
становочность;
    2) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) — ассоциатив-
ность, или сочетательность;
    3) (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 — дистрибутивность, или распреде-
лительность.
    По определению полагаем z 2 = zz, и, вообще,
                                      z n = zz · · · z,
где сомножитель повторяется n раз.
   Упражнение. Непосредственной подстановкой показать, что
формулы (1.3) дают корни уравнения (1.2).
   Комплексное число z назовем результатом деления комплексного
числа z1 на z2 , если
                           zz2 = z1 .                      (2.3)

Страницы