Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
Покажем, что если z
2
6= 0, то z как решение уравнения (2.3) су-
ществует и определяется единственным образом. В самом деле, ис-
пользуя формулы (2.1), (2.2), запишем (2.3) более подробно:
xx
2
− yy
2
+ i(xy
2
+ x
2
y) = x
1
+ iy
1
. (2.4)
Приравнивая соответственно вещественные и мнимые части, имеем
xx
2
− yy
2
= x
1
, (2.5)
xy
2
+ yx
2
= y
1
. (2.6)
Единственно возможным решением этой системы будет
x =
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
, (2.7)
y =
x
2
y
1
− x
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
. (2.8)
Формулы (2.7), (2.8) определяют правило деления комплексных чи-
сел.
Разделим, например, комплексное число z
1
= 1 + i2 на z
2
= 3 + i4:
z
1
z
2
=
1 + i2
3 + i4
=
1 · 3 + 2 · 4
3
2
+ 4
2
+ i
3 · 2 − 1 · 4
3
2
+ 4
2
=
11
25
+ i
2
25
.
Важно подчеркнуть, что все введенные нами операции в случае,
когда операнды вещественны, совпадают с соответствующим опера-
циями над вещественными числами (проверьте).
Таким образом, множество комплексных чисел можно считать
расширением множества вещественных чисел.
3. Число
z = x − iy называют сопряженным по отношению
к комплексному числу z = x + iy (часто говорят, что числа z и z
комплексно сопряжены). Ясно, что
z = z, z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
, z
1
z
2
= z
1
z
2
. (3.1)
Отметим также, что
z + z = 2x, z − z = i2y, zz = x
2
+ y
2
.
4. Вещественное неотрицательное число |z| =
√
zz =
p
x
2
+ y
2
называется модулем комплексного числа z = x + iy. Очевидно, что
если |z| = 0, то x = 0, y = 0, т. е. z = 0. (4.1)
8                                      Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


   Покажем, что если z2 6= 0, то z как решение уравнения (2.3) су-
ществует и определяется единственным образом. В самом деле, ис-
пользуя формулы (2.1), (2.2), запишем (2.3) более подробно:
                    xx2 − yy2 + i(xy2 + x2 y) = x1 + iy1 .                   (2.4)
Приравнивая соответственно вещественные и мнимые части, имеем
                                xx2 − yy2 = x1 ,                             (2.5)
                                xy2 + yx2 = y1 .                             (2.6)
Единственно возможным решением этой системы будет
                                     x1 x2 + y 1 y2
                               x=                   ,                        (2.7)
                                       x22 + y22
                                     x2 y1 − x 1 y2
                               y=                   .                        (2.8)
                                       x22 + y22
Формулы (2.7), (2.8) определяют правило деления комплексных чи-
сел.
    Разделим, например, комплексное число z1 = 1 + i2 на z2 = 3 + i4:
                z1   1 + i2   1·3+2·4    3·2−1·4   11    2
                   =        =   2   2
                                      +i   2   2
                                                 =    +i .
                z2   3 + i4    3 +4       3 +4     25   25
   Важно подчеркнуть, что все введенные нами операции в случае,
когда операнды вещественны, совпадают с соответствующим опера-
циями над вещественными числами (проверьте).
   Таким образом, множество комплексных чисел можно считать
расширением множества вещественных чисел.
   3. Число z = x − iy называют сопряженным по отношению
к комплексному числу z = x + iy (часто говорят, что числа z и z
комплексно сопряжены). Ясно, что
                 z = z,    z 1 + z2 = z 1 + z 2 ,       z 1 z2 = z 1 z 2 .   (3.1)
Отметим также, что
                z + z = 2x,           zz = x2 + y 2 .
                                 z − z = i2y,
                                                √      p
   4. Вещественное неотрицательное число |z| = zz = x2 + y 2
называется модулем комплексного числа z = x + iy. Очевидно, что
                если |z| = 0, то x = 0, y = 0, т. е. z = 0.                  (4.1)

Страницы