Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Комплексные числа 9
Рис. 1. К неравенствам (4.3), (4.4).
Элементарные вычисления показывают, что для любых двух ком-
плексных чисел z
1
, z
2
справедливо равенство
|z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
|. (4.2)
Упражнение. Используя хорошо известное неравенство
2|xy| 6 (x
2
+ y
2
),
справедливое для любых вещественных чисел x, y, убедиться, что для
любых комплексных чисел z
1
, z
2
справедливо неравенство
|z
1
+ z
2
| 6 |z
1
| + |z
2
|. (4.3)
Соотношения (4.1)–(4.3) показывают, что с модулем комплексного
числа можно оперировать так же, как и с модулем вещественного
числа.
Заметим, что |z
1
| = |z
1
−z
2
+ z
2
| 6 |z
1
−z
2
|+ |z
2
|, следовательно,
|z
1
| − |z
2
| 6 |z
1
− z
2
|.
Точно так же
|z
2
| − |z
1
| 6 |z
1
− z
2
|.
Таким образом,
||z
2
| − |z
1
|| 6 |z
1
− z
2
|. (4.4)
5. Напомним, что с каждым вещественным числом x можно свя-
зать точку на числовой прямой. Аналогичная (но более сложная) гео-
метрическая интерпретация полезна и для комплексных чисел.
Введем на плоскости декартову систему координат (x, y) и поста-
вим в соответствие каждому комплексному числу z = x + iy точку с
координатами (x, y).
При этом модуль комплексного числа это, очевидно, — расстояние
от точки (x, y) до начала координат (сделайте рисунок).
§ 1. Комплексные числа                                                    9




                         Рис. 1. К неравенствам (4.3), (4.4).


   Элементарные вычисления показывают, что для любых двух ком-
плексных чисел z1 , z2 справедливо равенство
                                 |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.                (4.2)
    Упражнение. Используя хорошо известное неравенство
                               2|xy| 6 (x2 + y 2 ),
справедливое для любых вещественных чисел x, y, убедиться, что для
любых комплексных чисел z1 , z2 справедливо неравенство
                             |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |.               (4.3)
   Соотношения (4.1)–(4.3) показывают, что с модулем комплексного
числа можно оперировать так же, как и с модулем вещественного
числа.
   Заметим, что |z1 | = |z1 − z2 + z2 | 6 |z1 − z2 | + |z2 |, следовательно,
                             |z1 | − |z2 | 6 |z1 − z2 |.
Точно так же
                             |z2 | − |z1 | 6 |z1 − z2 |.
Таким образом,
                            ||z2 | − |z1 || 6 |z1 − z2 |.              (4.4)
    5. Напомним, что с каждым вещественным числом x можно свя-
зать точку на числовой прямой. Аналогичная (но более сложная) гео-
метрическая интерпретация полезна и для комплексных чисел.
    Введем на плоскости декартову систему координат (x, y) и поста-
вим в соответствие каждому комплексному числу z = x + iy точку с
координатами (x, y).
    При этом модуль комплексного числа это, очевидно, — расстояние
от точки (x, y) до начала координат (сделайте рисунок).

Страницы