Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Комплексные числа 11
Рис. 3. К умножению комплексных чисел.
Пусть z
1
= ρ
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= ρ
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
). Перемно-
жая эти числа и используя известные тригонометрические соотноше-
ния, получим
z
1
z
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)) , (7.1)
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются (см. рис. 3).
Вычислим, например, произведение чисел
z
1
= 3
³
cos
π
2
+ i sin
π
2
´
и z
2
= 2
³
cos
π
4
+ i sin
π
4
´
.
По формуле (7.1) имеем
z
1
z
2
= 6
µ
cos
3π
4
+ i sin
3π
4
.
Здесь нужно отметить, что число ϕ
1
+ ϕ
2
может выйти за преде-
лы отрезка [0, 2π], но вследствие периодичности тригонометрических
функций мы можем отождествлять их аргументы, отличающиеся на
величину, кратную 2π. Это тривиальное замечание дает возможность
корректно определить аргумент произведения двух любых комплекс-
ных чисел. Аналогичное относится и к другим операциям над ком-
плексными числами, представленными в тригонометрической форме.
Запишем уравнение (2.3), используя тригонометрическое пред-
ставление комплексных чисел и формулу (7.1)
ρρ
2
(cos(ϕ + ϕ
2
) + i sin(ϕ + ϕ
2
)) = ρ
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
). (7.2)
Отсюда
z =
z
1
z
2
=
ρ
1
ρ
2
(cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)), (7.3)
§ 1. Комплексные числа                                                    11




                    Рис. 3. К умножению комплексных чисел.


   Пусть z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Перемно-
жая эти числа и используя известные тригонометрические соотноше-
ния, получим
               z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) ,        (7.1)
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются (см. рис. 3).
    Вычислим, например, произведение чисел
                     ³   π        π´          ³   π        π´
               z1 = 3 cos + i sin     и z2 = 2 cos + i sin    .
                         2        2               4        4
По формуле (7.1) имеем             µ                  ¶
                                        3π         3π
                          z1 z2 = 6 cos    + i sin      .
                                         4          4
    Здесь нужно отметить, что число ϕ1 + ϕ2 может выйти за преде-
лы отрезка [0, 2π], но вследствие периодичности тригонометрических
функций мы можем отождествлять их аргументы, отличающиеся на
величину, кратную 2π. Это тривиальное замечание дает возможность
корректно определить аргумент произведения двух любых комплекс-
ных чисел. Аналогичное относится и к другим операциям над ком-
плексными числами, представленными в тригонометрической форме.
    Запишем уравнение (2.3), используя тригонометрическое пред-
ставление комплексных чисел и формулу (7.1)
      ρρ2 (cos(ϕ + ϕ2 ) + i sin(ϕ + ϕ2 )) = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ).    (7.2)
Отсюда
                    z1  ρ1
               z=      = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )),             (7.3)
                    z2  ρ2

Страницы