Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Комплексные числа 13
Рис. 4. К корню степени n из комплексного числа z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Здесь n = 4,
z
k
=
4
√
ρ(cos ϕ
k
+ i sin ϕ
k
), ϕ
k
= ϕ/4 + kπ/2, k = 0, 1, 2, 3.
Например, корни четвертой степени из комплексного числа
z = 3
³
cos
π
2
+ i sin
π
2
´
вычисляются по формулам
z
k
=
4
√
3(cos ϕ
k
+ i sin ϕ
k
), ϕ
k
=
π
8
+ kπ/2, k = 0, 1, 2, 3.
У любого комплексного числа (кроме нуля) существует n различ-
ных корней степени n > 1. Все они расположены на окружности
радиуса
n
√
ρ с центром в начале координат и делят ее на n равных
частей (см. рис. 4).
Естественно поставить вопрос, можно ли указать корни из чис-
ла z, отличные от найденных. Ответ отрицательный. Чтобы убедить-
ся в этом, надо обратиться к пункту 5 следующего параграфа, трак-
туя при этом (8.1) как уравнение для отыскания корней полинома
степени n.
Формулу (8.2) часто записывают в несколько иной форме. Поло-
жим
q
k
= cos
2πk
n
+ i sin
2πk
n
, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Очевидно, q
n
k
= 1 для k = 0, 1, 2, . . . , n −1, т. е. q
k
— корни степени n
из единицы. Нетрудно проверить, что
z
k
= z
0
q
k
, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Таким образом, вычислив корень
z
0
=
n
√
ρ (cos ϕ/n + i sin ϕ/n) ,
§ 1. Комплексные числа                                                           13




Рис. √
     4. К корню степени n из комплексного числа z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). Здесь n = 4,
zk = 4 ρ(cos ϕk + i sin ϕk ), ϕk = ϕ/4 + kπ/2, k = 0, 1, 2, 3.


    Например, корни четвертой степени из комплексного числа
                                     ³   π      π´
                              z = 3 cos + i sin
                                         2      2
вычисляются по формулам
                 √4                          π
             zk = 3(cos ϕk + i sin ϕk ), ϕk = + kπ/2, k = 0, 1, 2, 3.
                                             8
    У любого комплексного числа (кроме нуля) существует n различ-
ных корней степени n > 1. Все они расположены на окружности
         √
радиуса n ρ с центром в начале координат и делят ее на n равных
частей (см. рис. 4).
    Естественно поставить вопрос, можно ли указать корни из чис-
ла z, отличные от найденных. Ответ отрицательный. Чтобы убедить-
ся в этом, надо обратиться к пункту 5 следующего параграфа, трак-
туя при этом (8.1) как уравнение для отыскания корней полинома
степени n.
    Формулу (8.2) часто записывают в несколько иной форме. Поло-
жим
                     2πk         2πk
           qk = cos      + i sin     , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
                      n           n
Очевидно, qkn = 1 для k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, т. е. qk — корни степени n
из единицы. Нетрудно проверить, что
                     z k = z 0 qk ,   k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Таким образом, вычислив корень
                       √
                  z0 = n ρ (cos ϕ/n + i sin ϕ/n) ,

Страницы