Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
все остальные можно получить последовательными сдвигами на
угол 2π/n по окружности.
§ 2. Многочлены
1. Многочленом (полиномом) называют функцию вида
P
n
(z) = a
0
+ a
1
z + a
2
z
2
+ ··· + a
n
z
n
. (1.1)
Здесь a
0
, . . . a
n
— фиксированные комплексные числа, называемые
коэффициентами многочлена, n > 0 — целое число, называемое по-
рядком или степенью многочлена, z может принимать любые ком-
плексные значения. Таким образом, каждому комплексному числу z
однозначно ставится в соответствие комплексное число P
n
(z).
Понятно, что сумма многочленов P
n
(z)+Q
m
(z) — многочлен, при-
чем степень его не больше максимального из чисел m и n.
Произведение многочленов P
n
(z)Q
m
(z) — многочлен, степень ко-
торого есть сумма степеней, т. е. m + n.
Многочлен тождественно равен нулю, если все его коэффициенты
нули.
Естественно поставить вопрос, будут ли все коэффициенты мно-
гочлена равны нулю, если сам многочлен тождественно равен нулю.
Это действительно так, но доказательство удобно будет дать несколь-
ко позже. Как ни странно, наиболее просто оно проводится методами
теории систем линейных алгебраических уравнений (см. § 3, гл. 3).
Введем и исследуем операцию деления многочленов.
2. Теорема (о делении многочленов). Для любых двух мно-
гочленов P
n
(z) и Q
m
(z), n > m можно найти такие многочле-
ны q
n−m
(z) и r
m−1
(z), что
P
n
(z) = Q
m
(z)q
n−m
(z) + r
m−1
(z). (2.1)
Многочлены q
n−m
(z) и r
m−1
(z), удовлетворяющие условию (2.1),
определяются однозначно.
Доказательство. Для упрощения записей будем считать, что
старший коэффициент многочлена Q
m
равен единице. Случай, когда
этот коэффициент — произвольное ненулевое число, требует очевид-
ных изменений в выписываемых ниже формулах. Итак, пусть
P
n
(z) = a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ··· + a
0
,
Q
m
(z) = z
m
+ b
m−1
z
m−1
+ ··· + b
0
,
q
n−m
(z) = c
n−m
z
n−m
+ c
n−m−1
z
n−m−1
+ ··· + c
0
,
r
m−1
(z) = d
m−1
z
m−1
+ d
m−2
z
m−2
+ ··· + d
0
.
14                                  Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


все остальные можно получить последовательными сдвигами на
угол 2π/n по окружности.

                          § 2. Многочлены

     1. Многочленом (полиномом) называют функцию вида
                Pn (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n .       (1.1)
Здесь a0 , . . . an — фиксированные комплексные числа, называемые
коэффициентами многочлена, n > 0 — целое число, называемое по-
рядком или степенью многочлена, z может принимать любые ком-
плексные значения. Таким образом, каждому комплексному числу z
однозначно ставится в соответствие комплексное число Pn (z).
    Понятно, что сумма многочленов Pn (z)+Qm (z) — многочлен, при-
чем степень его не больше максимального из чисел m и n.
    Произведение многочленов Pn (z)Qm (z) — многочлен, степень ко-
торого есть сумма степеней, т. е. m + n.
    Многочлен тождественно равен нулю, если все его коэффициенты
нули.
    Естественно поставить вопрос, будут ли все коэффициенты мно-
гочлена равны нулю, если сам многочлен тождественно равен нулю.
Это действительно так, но доказательство удобно будет дать несколь-
ко позже. Как ни странно, наиболее просто оно проводится методами
теории систем линейных алгебраических уравнений (см. § 3, гл. 3).
    Введем и исследуем операцию деления многочленов.
    2. Теорема (о делении многочленов). Для любых двух мно-
гочленов Pn (z) и Qm (z), n > m можно найти такие многочле-
ны qn−m (z) и rm−1 (z), что
                  Pn (z) = Qm (z)qn−m (z) + rm−1 (z).                (2.1)
Многочлены qn−m (z) и rm−1 (z), удовлетворяющие условию (2.1),
определяются однозначно.
    Доказательство. Для упрощения записей будем считать, что
старший коэффициент многочлена Qm равен единице. Случай, когда
этот коэффициент — произвольное ненулевое число, требует очевид-
ных изменений в выписываемых ниже формулах. Итак, пусть
           Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 ,
           Qm (z) = z m + bm−1 z m−1 + · · · + b0 ,
           qn−m (z) = cn−m z n−m + cn−m−1 z n−m−1 + · · · + c0 ,
           rm−1 (z) = dm−1 z m−1 + dm−2 z m−2 + · · · + d0 .

Страницы