Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Многочлены 15
Коэффициенты многочленов P
n
, Q
m
даны, а коэффициенты много-
членов q
n−m
, r
m−1
требуется найти. Проводя элементарные выкладки,
соберем коэффициенты при одинаковых степенях z и приравняем их
соответствующим коэффициентам многочлена P
n
:
a
n
= c
n−m
,
a
n−1
= c
n−m−1
+ c
n−m
b
m−1
,
a
n−2
= c
n−m−2
+ c
n−m−1
b
m−1
+ c
n−m
b
m−2
,
. . . . . . . . .
a
m
= c
0
+ c
1
b
m−1
+ c
2
b
m−2
+ ··· + c
m
b
0
,
a
m−1
= d
m−1
+ c
0
b
m−1
+ c
1
b
m−2
+ ··· + c
m−1
b
0
,
. . . . . . . . .
a
0
= d
0
+ c
0
b
0
.
Полученные соотношения представляют собой систему уравнений от-
носительно коэффициентов многочленов q
n−m
, r
m−1
. Эта система лег-
ко решается. Сначала находятся коэффициенты c
j
последовательно,
в порядке убывания индексов:
c
n−m
= a
n
,
c
n−m−1
= a
n−1
− c
n−m
b
m−1
,
c
n−m−2
= a
n−2
− c
n−m−1
b
m−1
− c
n−m
b
m−2
,
. . . . . . . . .
c
0
= a
m
− c
1
b
m−1
− c
2
b
m−2
− ··· − c
m
b
0
.
(2.2)
Затем с использованием уже найденных значений c
j
вычисляются
коэффициенты d
j
:
d
m−1
= a
m−1
− c
0
b
m−1
− c
1
b
m−2
− ··· − c
m−1
b
0
,
d
m−2
= a
m−2
− c
0
b
m−2
− c
1
b
m−3
− ··· − c
m−2
b
0
,
. . . . . . . . .
d
0
= a
0
− c
0
b
0
.
(2.3)
Ясно, что коэффициенты многочленов q
n−m
, r
m−1
определяются по
формулам (2.2), (2.3) однозначно. ¤
1)
Описанный в ходе доказательства теоремы способ вычисления ко-
эффициентов многчленов q
n−m
, r
m−1
называется схемой Горнера и
широко применяется на практике.
Формулу (2.1) интерпретируют как деление многочлена P
n
на
многочлен Q
m
; q
n−m
— частное от деления, r
m−1
— остаток. В слу-
чае, когда многочлен r
m−1
оказывается равным нулю, говорят, что
1)
Символ ¤ означает конец доказательства.
§ 2. Многочлены                                                          15


Коэффициенты многочленов Pn , Qm даны, а коэффициенты много-
членов qn−m , rm−1 требуется найти. Проводя элементарные выкладки,
соберем коэффициенты при одинаковых степенях z и приравняем их
соответствующим коэффициентам многочлена Pn :
                 an = cn−m ,
                 an−1 = cn−m−1 + cn−m bm−1 ,
                 an−2 = cn−m−2 + cn−m−1 bm−1 + cn−m bm−2 ,
                 ... ... ...
                 am = c0 + c1 bm−1 + c2 bm−2 + · · · + cm b0 ,
                 am−1 = dm−1 + c0 bm−1 + c1 bm−2 + · · · + cm−1 b0 ,
                 ... ... ...
                 a 0 = d 0 + c 0 b0 .
Полученные соотношения представляют собой систему уравнений от-
носительно коэффициентов многочленов qn−m , rm−1 . Эта система лег-
ко решается. Сначала находятся коэффициенты cj последовательно,
в порядке убывания индексов:
                    cn−m = an ,
                    cn−m−1 = an−1 − cn−m bm−1 ,
                    cn−m−2 = an−2 − cn−m−1 bm−1 − cn−m bm−2 ,          (2.2)
                    ... ... ...
                    c0 = am − c1 bm−1 − c2 bm−2 − · · · − cm b0 .
Затем с использованием уже найденных значений cj вычисляются
коэффициенты dj :
                 dm−1 = am−1 − c0 bm−1 − c1 bm−2 − · · · − cm−1 b0 ,
                 dm−2 = am−2 − c0 bm−2 − c1 bm−3 − · · · − cm−2 b0 ,
                                                                       (2.3)
                 ... ... ...
                 d 0 = a 0 − c 0 b0 .
Ясно, что коэффициенты многочленов qn−m , rm−1 определяются по
формулам (2.2), (2.3) однозначно. ¤1)
    Описанный в ходе доказательства теоремы способ вычисления ко-
эффициентов многчленов qn−m , rm−1 называется схемой Горнера и
широко применяется на практике.
    Формулу (2.1) интерпретируют как деление многочлена Pn на
многочлен Qm ; qn−m — частное от деления, rm−1 — остаток. В слу-
чае, когда многочлен rm−1 оказывается равным нулю, говорят, что
 1)
      Символ ¤ означает конец доказательства.

Страницы