Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Многочлены 17
3.2. Следствие. Многочлен P
n
тогда и только тогда делится
на z − α, когда α — корень этого многочлена.
Число α называется корнем кратности k > 1 многочлена P
n
,
если P
n
(z) делится на (z − α)
k
:
P
n
(z) = (z − α)
k
q
n−k
(z),
а q
n−k
(z) не делится на (z −α), т. е. α не является корнем многочле-
на q
n−k
(z).
Если кратность корня равна единице, то корень называют про-
стым.
4. Исследуя свойства корней полинома, для упрощения записей
обычно переходят к приведенному (часто говорят нормированному)
полиному, получающемуся делением всех коэффициентов исходного
полинома на его старший коэффициент.
Очевидно, что любой корень исходного полинома является кор-
нем приведенного полинома и, наоборот, любой корень приведенного
полинома — корень исходного полинома.
4.1. Теорема (основная теорема алгебры). Всякий полином
P
n
(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ··· + a
0
, n > 1,
имеет хотя бы один корень.
Доказательство теоремы проводится методами математиче-
ского анализа и вынесено в приложение.
5. Пусть P
n
(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ··· + a
0
. По основной тереме
алгебры полином P
n
имеет корень. Обозначим его через α
1
. Пусть
этот корень имеет кратность k
1
> 1. По следствию из теоремы Безу
P
n
(z) = (z − α
1
)
k
1
q
n−k
1
(z).
Если k
1
= n, то, очевидно, q
n−k
1
= 1. В противном случае поли-
ном q
n−k
1
(z) имеет корень. Обозначим его через α
2
. Понятно, что α
2
является корнем полинома P
n
, причем по построению отличным
от α
1
. Пусть кратность α
2
(как корня полинома q
n−k
1
) равна k
2
. Тогда
q
n−k
1
(z) = (z − α
2
)
k
2
q
n−k
2
(z),
следовательно,
P
n
(z) = (z − α
1
)
k
1
(z − α
2
)
k
2
q
n−k
2
(z).
§ 2. Многочлены                                                       17


    3.2. Следствие. Многочлен Pn тогда и только тогда делится
на z − α, когда α — корень этого многочлена.
   Число α называется корнем кратности k > 1 многочлена Pn ,
если Pn (z) делится на (z − α)k :

                         Pn (z) = (z − α)k qn−k (z),
а qn−k (z) не делится на (z − α), т. е. α не является корнем многочле-
на qn−k (z).
    Если кратность корня равна единице, то корень называют про-
стым.
   4. Исследуя свойства корней полинома, для упрощения записей
обычно переходят к приведенному (часто говорят нормированному)
полиному, получающемуся делением всех коэффициентов исходного
полинома на его старший коэффициент.
   Очевидно, что любой корень исходного полинома является кор-
нем приведенного полинома и, наоборот, любой корень приведенного
полинома — корень исходного полинома.
   4.1. Теорема (основная теорема алгебры). Всякий полином
              Pn (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 ,     n > 1,
имеет хотя бы один корень.
    Доказательство теоремы проводится методами математиче-
ского анализа и вынесено в приложение.
    5. Пусть Pn (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 . По основной тереме
алгебры полином Pn имеет корень. Обозначим его через α1 . Пусть
этот корень имеет кратность k1 > 1. По следствию из теоремы Безу
                       Pn (z) = (z − α1 )k1 qn−k1 (z).
Если k1 = n, то, очевидно, qn−k1 = 1. В противном случае поли-
ном qn−k1 (z) имеет корень. Обозначим его через α2 . Понятно, что α2
является корнем полинома Pn , причем по построению отличным
от α1 . Пусть кратность α2 (как корня полинома qn−k1 ) равна k2 . Тогда

                      qn−k1 (z) = (z − α2 )k2 qn−k2 (z),
следовательно,
                  Pn (z) = (z − α1 )k1 (z − α2 )k2 qn−k2 (z).

Страницы