Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
Ясно, что k
2
— кратность α
2
как корня полинома P
n
. Продолжая это
процесс, получим, что
P
n
(z) = (z −α
1
)
k
1
(z −α
2
)
k
2
···(z −α
m
)
k
m
, (5.1)
где k
1
, k
2
, . . . , k
m
— целые числа, не меньшие единицы и такие, что
k
1
+ k
2
+ ··· + k
m
= n.
Таким образом, всякий полином степени n имеет n корней (с уче-
том их кратности).
5.1. Теорема. Полином P
n
степени n не может иметь больше
чем n корней.
Доказательство. В самом деле, пусть P
n
(α) = 0 и α не сов-
падает ни с одним из чисел α
1
, . . . , α
m
в представлении (5.1). По
следствию из теоремы Безу имеем
P
n
(z) = (z − α)q
n−1
(z),
откуда на основании (5.1)
(z − α
1
)
k
1
(z − α
2
)
k
2
···(z − α
m
)
k
m
= (z − α)q
n−1
(z).
Правая часть этого равенства при z = α равна нулю, а левая не равна
нулю. ¤
6. Занумеруем корни полинома P
n
целыми числами от 1 до n,
повторяя каждый корень столько раз, какова его кратность, и запи-
шем (5.1) в виде
P
n
(z) = (z − α
1
)(z − α
2
) ···(z − α
n
).
Раскрывая скобки в правой части равенства, приводя подобные и при-
равнивая коэффициенты при степенях z соответствующим коэффи-
циентам в левой части, получим формулы, выражающие коэффици-
енты полинома P
n
через его корни:
a
n−1
= −(α
1
+ α
2
+ ··· + α
n
),
a
n−2
= α
1
α
2
+ α
1
α
3
+ ···α
n−1
α
n
,
. . . . . . . . .
a
0
= (−1)
n
α
1
α
2
···α
n
.
Закономерность образования этих формул очевидна: в каждой по-
следующей строке количество сомножителей увеличивается на едини-
цу, складываются всевозможные произведения различных сомножи-
телей.
Полученные формулы называются формулами Вьета (часто так-
же пишут Виета).
18                                   Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


Ясно, что k2 — кратность α2 как корня полинома Pn . Продолжая это
процесс, получим, что
              Pn (z) = (z − α1 )k1 (z − α2 )k2 · · · (z − αm )km ,      (5.1)
где k1 , k2 , . . . , km — целые числа, не меньшие единицы и такие, что
                          k1 + k2 + · · · + km = n.
   Таким образом, всякий полином степени n имеет n корней (с уче-
том их кратности).
   5.1. Теорема. Полином Pn степени n не может иметь больше
чем n корней.
   Доказательство. В самом деле, пусть Pn (α) = 0 и α не сов-
падает ни с одним из чисел α1 , . . . , αm в представлении (5.1). По
следствию из теоремы Безу имеем
                         Pn (z) = (z − α)qn−1 (z),
откуда на основании (5.1)
         (z − α1 )k1 (z − α2 )k2 · · · (z − αm )km = (z − α)qn−1 (z).
Правая часть этого равенства при z = α равна нулю, а левая не равна
нулю. ¤
   6. Занумеруем корни полинома Pn целыми числами от 1 до n,
повторяя каждый корень столько раз, какова его кратность, и запи-
шем (5.1) в виде
                 Pn (z) = (z − α1 )(z − α2 ) · · · (z − αn ).
Раскрывая скобки в правой части равенства, приводя подобные и при-
равнивая коэффициенты при степенях z соответствующим коэффи-
циентам в левой части, получим формулы, выражающие коэффици-
енты полинома Pn через его корни:
                     an−1 = −(α1 + α2 + · · · + αn ),
                 an−2 = α1 α2 + α1 α3 + · · · αn−1 αn ,
                             ... ... ...
                      a0 = (−1)n α1 α2 · · · αn .
    Закономерность образования этих формул очевидна: в каждой по-
следующей строке количество сомножителей увеличивается на едини-
цу, складываются всевозможные произведения различных сомножи-
телей.
    Полученные формулы называются формулами Вьета (часто так-
же пишут Виета).

Страницы