Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

20 Глава 1. Комплексные числа. Многочлены
т. е. найдем такой многочлен
q
2
(z) = c
2
z
2
+ c
1
z + c
0
,
что выполняется равенство
P
3
(z) = Q
1
(z)q
2
(z).
Вычисления проведем с помощью схемы Горнера. Их удобно оформить в виде таблицы:
a
3
= 1 a
2
= 0 a
1
= −6 a
0
= 9
b
0
= 3 c
2
b
0
= c
1
b
0
= c
0
b
0
=
= 1 · 3 = 3 = (−3)3 = −9 = 3 · 3 = 9
c
2
= a
3
= c
1
= a
2
− c
2
b
0
= c
0
= a
1
− c
1
b
0
= r
0
= a
0
− c
0
b
0
=
= 1 = −3 = 3 = 0
Итак,
q
2
(z) = z
2
− 3z + 3,
а остаток r
0
равен нулю, поскольку многочлен P
3
(z) нацело делится на z + 3:
P
3
(z) = (z + 3)
¡
z
2
− 3z + 3
¢
.
Очевидно число α = −3 не является корнем полинома q
2
(z). Поэтому α = −3 — простой
корень полинома P
3
(z). Для того, чтобы найти оставшиеся два его корня, надо решить
квадратное уравнение
z
2
− 3z + 3 = 0.
Дискриминант этого уравнения равен −3, следовательно, оно не имеет вещественных
корней. Таким образом, полином третьего порядка P
3
(z) с вещественными коэффици-
ентами мы представили в виде произведения линейного и квадратичного вещественных
сомножителей.
20                                             Глава 1. Комплексные числа. Многочлены


т. е. найдем такой многочлен

                                    q2 (z) = c2 z 2 + c1 z + c0 ,

что выполняется равенство
                                      P3 (z) = Q1 (z)q2 (z).
Вычисления проведем с помощью схемы Горнера. Их удобно оформить в виде таблицы:
                 a3 = 1       a2 = 0               a1 = −6             a0 = 9
        b0 = 3                c2 b0 =              c1 b0 =             c0 b0 =
                              =1·3=3               = (−3)3 = −9        =3·3=9
                 c2 = a 3 =   c1 = a2 − c2 b0 =    c0 = a1 − c1 b0 =   r0 = a0 − c0 b0 =
                 =1           = −3                 =3                  =0
Итак,
                                      q2 (z) = z 2 − 3z + 3,
а остаток r0 равен нулю, поскольку многочлен P3 (z) нацело делится на z + 3:
                                            ¡            ¢
                            P3 (z) = (z + 3) z 2 − 3z + 3 .

Очевидно число α = −3 не является корнем полинома q2 (z). Поэтому α = −3 — простой
корень полинома P3 (z). Для того, чтобы найти оставшиеся два его корня, надо решить
квадратное уравнение
                                   z 2 − 3z + 3 = 0.
Дискриминант этого уравнения равен −3, следовательно, оно не имеет вещественных
корней. Таким образом, полином третьего порядка P3 (z) с вещественными коэффици-
ентами мы представили в виде произведения линейного и квадратичного вещественных
сомножителей.

Страницы