Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Многочлены 19
7. Пусть все коэффициенты полинома
P
n
(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ . . . + a
0
есть вещественные числа, тогда если α — корень этого полинома, то
и сопряженное число
α — корень полинома P
n
.
Доказательство этого утверждения сразу вытекает из формулы
P
n
(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ . . . + a
0
,
которая получается непосредственным применением соотношений (3.1),
с. 8, и того очевидного факта, что если P
n
(α) = 0, то и P
n
(α) = 0.
Таким образом, все множество комплексных корней полинома с
вещественными коэффициентами разбивается на пары сопряженных
чисел.
Отсюда сразу следует, что у полинома с вещественным коэффици-
ентами нечетного порядка существует по крайней один веществен-
ный корень.
Заметим, что при любых z, α имеем
(z −α)(z −
α) = z
2
+ pz + q,
где p = −α − α = −2 Re α, q = αα = |α|
2
— вещественные числа.
Поэтому, объединяя в пары сопряженные корни, разложение (5.1) для
полинома P
n
с вещественными коэффициентами можно представить
в виде
P
n
(z) = (z −α
1
)
k
1
(z −α
2
)
k
2
···(z −α
s
)
k
s
(z
2
+ p
1
z + q
1
) ···
···(z
2
+ p
t
z + q
t
), (7.1)
где s — количество различных вещественных корней полинома P
n
,
а t — количество пар комплексно сопряженных корней этого полино-
ма.
Полагая, что в этом равенстве z — вещественное число, можно
сказать, что полином с вещественными коэффициентами допускает
представление в виде произведения линейных и квадратичных веще-
ственных сомножителей.
Пример. Нетрудно видеть, что одним из корней полинома
P
3
(z) = a
3
z
3
+ a
2
z
2
+ a
1
z + a
0
= z
3
− 6z + 9
является число α = −3. Разделим многочлен P
3
(z) на
Q
1
(z) = z + b
0
= z + 3,
§ 2. Многочлены                                                                      19


    7. Пусть все коэффициенты полинома
                      Pn (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0
есть вещественные числа, тогда если α — корень этого полинома, то
и сопряженное число α — корень полинома Pn .
    Доказательство этого утверждения сразу вытекает из формулы
                     P n (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 ,
которая получается непосредственным применением соотношений (3.1),
с. 8, и того очевидного факта, что если Pn (α) = 0, то и Pn (α) = 0.
     Таким образом, все множество комплексных корней полинома с
вещественными коэффициентами разбивается на пары сопряженных
чисел.
     Отсюда сразу следует, что у полинома с вещественным коэффици-
ентами нечетного порядка существует по крайней один веществен-
ный корень.
     Заметим, что при любых z, α имеем
                         (z − α)(z − α) = z 2 + pz + q,
где p = −α − α = −2 Re α, q = αα = |α|2 — вещественные числа.
Поэтому, объединяя в пары сопряженные корни, разложение (5.1) для
полинома Pn с вещественными коэффициентами можно представить
в виде

 Pn (z) = (z − α1 )k1 (z − α2 )k2 · · · (z − αs )ks (z 2 + p1 z + q1 ) · · ·
                                                         · · · (z 2 + pt z + qt ), (7.1)
где s — количество различных вещественных корней полинома P n ,
а t — количество пар комплексно сопряженных корней этого полино-
ма.
    Полагая, что в этом равенстве z — вещественное число, можно
сказать, что полином с вещественными коэффициентами допускает
представление в виде произведения линейных и квадратичных веще-
ственных сомножителей.
    Пример. Нетрудно видеть, что одним из корней полинома

                     P3 (z) = a3 z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 = z 3 − 6z + 9

является число α = −3. Разделим многочлен P3 (z) на

                                 Q1 (z) = z + b0 = z + 3,

Страницы