Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Таблицу
A =
µ
a
11
a
12
a
21
a
22
(1.4)
называют матрицей второго порядка. Величину
∆ = a
11
a
22
− a
12
a
21
(1.5)
называют определителем матрицы A. Для определителя используют
следующие обозначения:
det(A) = |A| =
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
= ∆.
Равенства (1.2), (1.3) теперь можно записать в виде
x
1
=
∆
1
∆
, x
2
=
∆
2
∆
,
где
∆
1
=
¯
¯
¯
¯
b
1
a
12
b
2
a
22
¯
¯
¯
¯
, ∆
2
=
¯
¯
¯
¯
a
11
b
1
a
21
b
2
¯
¯
¯
¯
.
Полученные формулы называют формулами Крамера.
Формулы (1.2), (1.3) не имеют смысла, когда
|A| = a
11
a
22
− a
12
a
21
= 0,
или
a
11
a
21
=
a
12
a
22
,
т. е. строки определителя |A| пропорциональны. Если при этом и
b
1
b
2
=
a
12
a
22
,
то первое и второе уравнения системы (1.1), фактически, совпадают,
и она имеет бесконечное множество решений. Если |A| = 0, но
b
1
b
2
6=
a
12
a
22
,
то первое и второе уравнения системы (1.1) противоречивы, система
несовместна, не имеет ни одного решения.
Примеры
1) Определитель матрицы системы
x
1
+ 2x
2
= 5,
3x
1
+ 4x
2
= 6,
22                                 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


      Таблицу                        µ              ¶
                                         a11 a12
                              A=                                         (1.4)
                                         a21 a22
называют матрицей второго порядка. Величину
                             ∆ = a11 a22 − a12 a21                       (1.5)
называют определителем матрицы A. Для определителя используют
следующие обозначения:
                                 ¯         ¯
                                 ¯ a11 a12 ¯
                 det(A) = |A| = ¯¯         ¯ = ∆.
                                   a21 a22 ¯
      Равенства (1.2), (1.3) теперь можно записать в виде
                                  ∆1            ∆2
                            x1 =        ,   x2 =     ,
                                   ∆              ∆
где                       ¯           ¯           ¯        ¯
                          ¯b     a12 ¯¯           ¯ a11 b1 ¯
                    ∆1 = ¯¯ 1           ,   ∆2 = ¯¯        ¯.
                            b2   a22 ¯              a21 b2 ¯
Полученные формулы называют формулами Крамера.
   Формулы (1.2), (1.3) не имеют смысла, когда
                          |A| = a11 a22 − a12 a21 = 0,
или                           a11   a12
                                  =     ,
                              a21   a22
т. е. строки определителя |A| пропорциональны. Если при этом и
                                    b1   a12
                                       =     ,
                                    b2   a22
то первое и второе уравнения системы (1.1), фактически, совпадают,
и она имеет бесконечное множество решений. Если |A| = 0, но
                                    b1    a12
                                       6=     ,
                                    b2    a22
то первое и второе уравнения системы (1.1) противоречивы, система
несовместна, не имеет ни одного решения.
      Примеры
      1) Определитель матрицы системы
                                    x1 + 2x2 = 5,
                                   3x1 + 4x2 = 6,

Страницы