Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
µ
a
22
−
a
12
a
11
a
21
x
2
+
µ
a
23
−
a
13
a
11
a
21
x
3
= b
2
−
b
1
a
11
a
21
, (2.6)
µ
a
32
−
a
12
a
11
a
31
x
2
+
µ
a
33
−
a
13
a
11
a
31
x
3
= b
3
−
b
1
a
11
a
31
. (2.7)
Теперь из уравнений (2.6), (2.7) исключим неизвестную x
2
по анало-
гии с тем, как мы исключали неизвестную x
1
из системы (2.1). После
элементарных преобразований получим
x
3
=
b
1
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
− b
2
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
+ b
3
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
a
13
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
− a
23
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
+ a
33
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
. (2.8)
Упражнение. Вывести равенство (2.8).
Знаменатель полученной дроби называют определителем матри-
цы A, т. е. по определению
|A| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= a
13
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
− a
23
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
+ a
33
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
. (2.9)
Заметим, что числитель дроби в правой части (2.8) аналогичен
знаменателю, а именно, множители при определителях второго по-
рядка заменены на b
1
, b
2
, b
3
соответственно. Поэтому формуле (2.8)
можно придать вид
x
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
b
1
a
21
a
22
b
2
a
31
a
32
b
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (2.10)
Зная выражение для x
3
, из уравнения (2.6) найдем выражение
для x
2
, а затем при помощи уравнения (2.5) — для x
1
. Можно из-
бежать этих громоздких вычислений, действуя следующим образом.
Запишем систему (2.1)–(2.3) в виде
a
11
x
1
+ a
13
x
3
+ a
12
x
2
= b
1
,
24                             Глава 2. Введение в аналитическую геометрию

      µ             ¶    µ                  ¶
             a12                     a13                 b1
       a22 −     a21 x2 + a23 −          a21 x3 = b2 −       a21 ,     (2.6)
             a11                     a11                 a11
      µ             ¶    µ                  ¶
             a12                     a13                 b1
       a32 −     a31 x2 + a33 −          a31 x3 = b3 −       a31 .     (2.7)
             a11                     a11                 a11
Теперь из уравнений (2.6), (2.7) исключим неизвестную x2 по анало-
гии с тем, как мы исключали неизвестную x1 из системы (2.1). После
элементарных преобразований получим
                  ¯          ¯      ¯         ¯      ¯         ¯
                  ¯ a21 a22 ¯       ¯ a11 a12 ¯      ¯ a11 a12 ¯
             b1 ¯¯           ¯ − b2 ¯         ¯      ¯         ¯
                                    ¯ a31 a32 ¯ + b3 ¯ a21 a22 ¯
                    a31 a32 ¯
      x3 =       ¯          ¯        ¯         ¯       ¯         ¯
                 ¯ a21 a22 ¯         ¯ a11 a12 ¯       ¯ a11 a12 ¯ . (2.8)
            a13 ¯¯          ¯ − a23 ¯          ¯       ¯         ¯
                                     ¯ a31 a32 ¯ + a33 ¯ a21 a22 ¯
                    a31 a32 ¯
   Упражнение. Вывести равенство (2.8).
   Знаменатель полученной дроби называют определителем матри-
цы A, т. е. по определению
        ¯               ¯
        ¯ a11 a12 a13 ¯
        ¯               ¯
 |A| = ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ =
        ¯ a31 a32 a33 ¯
                     ¯         ¯       ¯         ¯       ¯         ¯
                     ¯ a21 a22 ¯       ¯ a11 a12 ¯       ¯ a11 a12 ¯
              = a13 ¯¯         ¯ − a23 ¯         ¯       ¯         ¯
                                       ¯ a31 a32 ¯ + a33 ¯ a21 a22 ¯ . (2.9)
                       a31 a32 ¯
   Заметим, что числитель дроби в правой части (2.8) аналогичен
знаменателю, а именно, множители при определителях второго по-
рядка заменены на b1 , b2 , b3 соответственно. Поэтому формуле (2.8)
можно придать вид
                               ¯                ¯
                               ¯ a11 a12 b1 ¯
                               ¯                ¯
                               ¯ a21 a22 b2 ¯
                               ¯                ¯
                               ¯ a31 a32 b3 ¯
                        x3 = ¯¯                 ¯.
                                                ¯             (2.10)
                               ¯ a 11 a 12 a 13 ¯
                               ¯ a21 a22 a23 ¯
                               ¯                ¯
                               ¯ a31 a32 a33 ¯

   Зная выражение для x3 , из уравнения (2.6) найдем выражение
для x2 , а затем при помощи уравнения (2.5) — для x1 . Можно из-
бежать этих громоздких вычислений, действуя следующим образом.
Запишем систему (2.1)–(2.3) в виде
                       a11 x1 + a13 x3 + a12 x2 = b1 ,

Страницы