Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 23
равен
∆ =
¯
¯
¯
¯
1 2
3 4
¯
¯
¯
¯
= 4 − 6 = −2.
Система имеет единственное решение
x
1
=
¯
¯
¯
¯
5 2
6 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2
3 4
¯
¯
¯
¯
=
20 − 12
−2
= −4, x
2
=
¯
¯
¯
¯
1 5
3 6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2
3 4
¯
¯
¯
¯
=
6 − 15
−2
=
9
2
.
2) Определитель матрицы системы
x
1
+ 2x
2
= 3,
2x
1
+ 4x
2
= 6,
равен
∆ =
¯
¯
¯
¯
1 2
2 4
¯
¯
¯
¯
= 4 − 4 = 0.
При этом
b
1
b
2
=
a
12
a
22
=
3
6
=
2
4
.
Уравнения системы, фактически, совпадают. Система имеет бесчисленное множество
решений.
3) Система
x
1
+ 2x
2
= 2,
2x
1
+ 4x
2
= 6,
не имеет решений, так как ее определитель равен нулю, но b
1
/b
2
6= a
12
/a
22
.
2. Обратимся к системе трех уравнений с тремя неизвестными
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
= b
1
, (2.1)
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
= b
2
, (2.2)
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
= b
3
. (2.3)
Ее коэффициенты составляют матрицу третьего порядка
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
. (2.4)
Получим формулы для решения системы, вновь используя метод
Гаусса. Поделим обе части уравнения (2.1) на a
11
. Полученное урав-
нение умножим на a
21
и вычтем почленно из уравнения (2.2). Анало-
гично поступим с уравнением (2.3). В результате система (2.1)–(2.3)
преобразуется к виду
x
1
+
a
12
a
11
x
2
+
a
13
a
11
x
3
=
b
1
a
11
, (2.5)
§ 1. Определители второго и третьего порядков                                     23


равен                            ¯    ¯
                                 ¯1 2 ¯
                                 ¯
                               ∆=¯    ¯ = 4 − 6 = −2.
                                   3 4¯
Система имеет единственное решение
                   ¯     ¯                         ¯       ¯
                   ¯5 2 ¯                          ¯1    5¯¯
                   ¯     ¯                         ¯
                   ¯6 4 ¯   20 − 12                ¯3    6¯   6 − 15  9
              x1 = ¯¯    ¯=
                         ¯          = −4,     x2 = ¯¯      ¯=
                                                           ¯         = .
                    ¯1 2 ¯    −2                    ¯1   2¯     −2    2
                    ¯3 4 ¯                          ¯3   4¯

    2) Определитель матрицы системы

                                      x1 + 2x2 = 3,
                                     2x1 + 4x2 = 6,
равен                             ¯    ¯
                                  ¯1 2 ¯
                                  ¯
                                ∆=¯    ¯ = 4 − 4 = 0.
                                    2 4¯
При этом
                                   b1   a12  3 2
                                      =     = = .
                                   b2   a22  6 4
Уравнения системы, фактически, совпадают. Система имеет бесчисленное множество
решений.
    3) Система
                                  x1 + 2x2 = 2,
                                 2x1 + 4x2 = 6,
не имеет решений, так как ее определитель равен нулю, но b1 /b2 6= a12 /a22 .

    2. Обратимся к системе трех уравнений с тремя неизвестными
                           a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,                      (2.1)
                           a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,                      (2.2)
                           a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .                      (2.3)
Ее коэффициенты составляют матрицу третьего порядка
                                     
                          a11 a12 a13
                    A =  a21 a22 a23  .                                       (2.4)
                          a31 a32 a33

   Получим формулы для решения системы, вновь используя метод
Гаусса. Поделим обе части уравнения (2.1) на a11 . Полученное урав-
нение умножим на a21 и вычтем почленно из уравнения (2.2). Анало-
гично поступим с уравнением (2.3). В результате система (2.1)–(2.3)
преобразуется к виду
                                   a12      a13      b1
                            x1 +       x2 +     x3 =     ,                      (2.5)
                                   a11      a11      a11

Страницы