Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 25
a
21
x
1
+ a
23
x
3
+ a
22
x
2
= b
2
,
a
31
x
1
+ a
33
x
3
+ a
32
x
2
= b
3
.
Теперь, фактически, вновь используя формулу (2.10), получим
x
2
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
13
b
1
a
21
a
23
b
2
a
31
a
33
b
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
13
a
12
a
21
a
23
a
22
a
31
a
33
a
32
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (2.11)
Аналогично,
x
1
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
12
a
13
b
1
a
22
a
23
b
2
a
32
a
33
b
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
12
a
13
a
11
a
22
a
23
a
21
a
32
a
33
a
31
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (2.12)
Формулы (2.10)–(2.12) имеют смысл, если определитель матрицы A не
равен нулю. Полное исследование линейных систем с тремя неизвест-
ными в случае, когда определитель |A| равен нулю, довольно сложно.
Впоследствии мы рассмотрим этот вопрос применительно к системам
с произвольным числом переменных.
3. Формулам (2.10)–(2.12) мы придадим в дальнейшем более сим-
метричный вид, но сначала изучим свойства определителей третьего
порядка.
1) Вычислим входящие в (2.9) определители второго порядка, рас-
кроем скобки и соберем вместе слагаемые с одинаковыми знаками.
Получим:
|A| = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
− a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
− a
11
a
23
a
32
. (3.1)
Для того, чтобы описать закономерность расстановки знаков в
этой сумме, нам полезно будет ввести некоторые новые понятия и
обозначения.
Три целых числа 1, 2, 3 можно расставить шестью различными
способами:
123, 231, 312, 321, 213, 132. (3.2)
§ 1. Определители второго и третьего порядков                                   25


                         a21 x1 + a23 x3 + a22 x2 = b2 ,
                         a31 x1 + a33 x3 + a32 x2 = b3 .
Теперь, фактически, вновь используя формулу (2.10), получим
                            ¯             ¯
                            ¯ a11 a13 b1 ¯
                            ¯             ¯
                            ¯ a21 a23 b2 ¯
                            ¯             ¯
                            ¯ a31 a33 b3 ¯
                      x2 = ¯¯             ¯.
                                          ¯                 (2.11)
                              a   a   a
                            ¯ 11 13 12 ¯
                            ¯ a21 a23 a22 ¯
                            ¯             ¯
                            ¯ a31 a33 a32 ¯

Аналогично,                      ¯                 ¯
                                 ¯ a12   a13 b1    ¯
                                 ¯                 ¯
                                 ¯ a22   a23 b2    ¯
                                 ¯                 ¯
                                 ¯ a32   a33 b3    ¯
                                 ¯
                            x1 = ¯                 ¯.                       (2.12)
                                                   ¯
                                 ¯ a12   a13 a11   ¯
                                 ¯ a22   a23 a21   ¯
                                 ¯                 ¯
                                 ¯ a32   a33 a31   ¯
Формулы (2.10)–(2.12) имеют смысл, если определитель матрицы A не
равен нулю. Полное исследование линейных систем с тремя неизвест-
ными в случае, когда определитель |A| равен нулю, довольно сложно.
Впоследствии мы рассмотрим этот вопрос применительно к системам
с произвольным числом переменных.
   3. Формулам (2.10)–(2.12) мы придадим в дальнейшем более сим-
метричный вид, но сначала изучим свойства определителей третьего
порядка.
   1) Вычислим входящие в (2.9) определители второго порядка, рас-
кроем скобки и соберем вместе слагаемые с одинаковыми знаками.
Получим:

 |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
                                  − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 . (3.1)
   Для того, чтобы описать закономерность расстановки знаков в
этой сумме, нам полезно будет ввести некоторые новые понятия и
обозначения.
   Три целых числа 1, 2, 3 можно расставить шестью различными
способами:
                  123, 231, 312, 321, 213, 132.           (3.2)

Страницы