Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 27
= 45 + 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = 225 − 225 = 0.
2) Матрица
A
T
=
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
называется матрицей, транспонированной по отношению к матри-
це A.
Матрица A
T
состоит из тех же элементов, что и матрица A, но
расположенных в другом порядке. Первый столбец матрицы A
T
со-
стоит из элементов первой строки матрицы A. Аналогичное справед-
ливо и для последующих столбцов матрицы A
T
.
Вычисляя по формуле (3.1) определитель матрицы A
T
, получим
|A
T
| = a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
−
− a
31
a
22
a
13
− a
21
a
12
a
33
− a
11
a
32
a
23
. (3.4)
Сравнивая |A
T
| и |A|, легко заметить, что они различаются только
порядком следования сомножителей в соответствующих слагаемых и
порядком расположения этих слагаемых.
Таким образом, определитель не меняется при транспонировании
матрицы.
Все дальнейшие свойства определителей формулируются в тер-
минах их строк. По доказанному только что свойству 2) они будут
справедливы и для столбцов.
3) Непосредственно из формулы (3.3) вытекает, что если все эле-
менты некоторой строки определителя — нули, то определитель равен
нулю.
4) Если элементы некоторой строки определителя представлены в
виде суммы двух слагаемых, то определитель представляется в виде
суммы определителей. Запишем соответствующую формулу приме-
нительно к первой строке:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
a
13
+ b
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
11
b
12
b
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Справедливость данного свойства проверяется непосредственным ис-
пользованием формулы (3.3):
X
n
1
n
2
n
3
(−1)
σ(n
1
n
2
n
3
)
(a
1n
1
+ b
1n
1
)a
2n
2
a
3n
3
=
X
n
1
n
2
n
3
(−1)
σ(n
1
n
2
n
3
)
a
1n
1
a
2n
2
a
3n
3
+
§ 1. Определители второго и третьего порядков                                    27


            = 45 + 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = 225 − 225 = 0.
     2) Матрица                              
                                  a11 a21 a31
                           AT =  a12 a22 a32 
                                  a13 a23 a33
называется матрицей, транспонированной по отношению к матри-
це A.
   Матрица AT состоит из тех же элементов, что и матрица A, но
расположенных в другом порядке. Первый столбец матрицы A T со-
стоит из элементов первой строки матрицы A. Аналогичное справед-
ливо и для последующих столбцов матрицы AT .
   Вычисляя по формуле (3.1) определитель матрицы AT , получим

 |AT | = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −
                                   − a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23 . (3.4)

Сравнивая |AT | и |A|, легко заметить, что они различаются только
порядком следования сомножителей в соответствующих слагаемых и
порядком расположения этих слагаемых.
    Таким образом, определитель не меняется при транспонировании
матрицы.
    Все дальнейшие свойства определителей формулируются в тер-
минах их строк. По доказанному только что свойству 2) они будут
справедливы и для столбцов.
    3) Непосредственно из формулы (3.3) вытекает, что если все эле-
менты некоторой строки определителя — нули, то определитель равен
нулю.
    4) Если элементы некоторой строки определителя представлены в
виде суммы двух слагаемых, то определитель представляется в виде
суммы определителей. Запишем соответствующую формулу приме-
нительно к первой строке:
 ¯                               ¯ ¯             ¯ ¯             ¯
 ¯ a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ b11 b12 b13 ¯
 ¯                               ¯ ¯             ¯ ¯             ¯
 ¯    a         a         a      ¯   ¯ a a   a   ¯   ¯ a a   a   ¯
 ¯      21        22        23     =               +
                                 ¯ ¯ 21 22 23 ¯ ¯ 21 22 23 ¯ .
 ¯    a31       a32       a33    ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯

Справедливость данного свойства проверяется непосредственным ис-
пользованием формулы (3.3):
 X                                              X
     (−1)σ(n1 n2 n3 ) (a1n1 + b1n1 )a2n2 a3n3 =   (−1)σ(n1 n2 n3 ) a1n1 a2n2 a3n3 +
n1 n2 n3                                      n1 n2 n3

Страницы