Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
+
X
n
1
n
2
n
3
(−1)
σ(n
1
n
2
n
3
)
b
1n
1
a
2n
2
a
3n
3
.
Аналогично доказывается, что общий множитель всех элементов
строки можно вынести за знак определителя:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
αa
11
αa
12
αa
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
и, вообще,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
αa
11
+ βb
11
αa
12
+ βb
12
αa
13
+ βb
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ β
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
11
b
12
b
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Это свойство часто формулируют так: определитель линеен по
каждой строке.
5) Если две строки определителя совпадают, то он равен нулю. Бу-
дем считать, что совпадают две первые строки. Для других пар строк
выкладки полностью аналогичны. Запишем равенство (3.1), заменяя
элементы второй строки на равные им элементы первой строки:
|A| = a
11
a
12
a
33
+ a
12
a
13
a
31
+ a
13
a
11
a
32
−
− a
13
a
12
a
31
− a
12
a
11
a
33
− a
11
a
13
a
32
. (3.5)
Легко заметить, что для каждого слагаемого со знаком плюс находит-
ся одно слагаемое, состоящее из тех же сомножителей, но со знаком
минус, значит, |A| = 0.
6) Если поменять местами две строки определителя, то знак его
изменится на противоположный, например,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (3.6)
В силу только что доказанного свойства 5)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
11
+ a
21
a
12
+ a
22
a
13
+ a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0.
28                                      Глава 2. Введение в аналитическую геометрию

                           X
                      +              (−1)σ(n1 n2 n3 ) b1n1 a2n2 a3n3 .
                          n1 n2 n3
   Аналогично доказывается, что общий множитель всех элементов
строки можно вынести за знак определителя:
             ¯                 ¯    ¯             ¯
             ¯ αa11 αa12 αa13 ¯     ¯ a11 a12 a13 ¯
             ¯                 ¯    ¯             ¯
             ¯ a21 a22 a23 ¯ = α ¯ a21 a22 a23 ¯
             ¯                 ¯    ¯             ¯
             ¯ a31 a32 a33 ¯        ¯ a31 a32 a33 ¯

и, вообще,
  ¯                                      ¯
  ¯ αa11 + βb11 αa12 + βb12 αa13 + βb13 ¯
  ¯                                      ¯
  ¯     a 21        a 22          a 23
                                         ¯=
  ¯                                      ¯
  ¯     a31         a32           a33    ¯
                                 ¯                               ¯     ¯               ¯
                                 ¯ a11 a12 a13                   ¯     ¯ b11 b12 b13   ¯
                                 ¯                               ¯     ¯               ¯
                            = α ¯¯ a21 a22 a23                   ¯ + β ¯ a21 a22 a23
                                                                 ¯     ¯
                                                                                       ¯.
                                                                                       ¯
                                 ¯ a31 a32 a33                   ¯     ¯ a31 a32 a33   ¯

   Это свойство часто формулируют так: определитель линеен по
каждой строке.
   5) Если две строки определителя совпадают, то он равен нулю. Бу-
дем считать, что совпадают две первые строки. Для других пар строк
выкладки полностью аналогичны. Запишем равенство (3.1), заменяя
элементы второй строки на равные им элементы первой строки:

 |A| = a11 a12 a33 + a12 a13 a31 + a13 a11 a32 −
                                  − a13 a12 a31 − a12 a11 a33 − a11 a13 a32 . (3.5)
Легко заметить, что для каждого слагаемого со знаком плюс находит-
ся одно слагаемое, состоящее из тех же сомножителей, но со знаком
минус, значит, |A| = 0.
    6) Если поменять местами две строки определителя, то знак его
изменится на противоположный, например,
                 ¯             ¯     ¯             ¯
                 ¯ a11 a12 a13 ¯     ¯ a21 a22 a23 ¯
                 ¯             ¯     ¯             ¯
                 ¯ a21 a22 a23 ¯ = − ¯ a11 a12 a13 ¯ .        (3.6)
                 ¯             ¯     ¯             ¯
                 ¯ a31 a32 a33 ¯     ¯ a31 a32 a33 ¯

В силу только что доказанного свойства 5)
               ¯                                                  ¯
               ¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23                    ¯
               ¯                                                  ¯
               ¯ a11 + a21 a12 + a22 a13 + a23                    ¯ = 0.
               ¯                                                  ¯
               ¯    a31       a32       a33                       ¯

Страницы