Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
доказательство, рассматривая первую и вторую строки. Используя
свойство 3), получим
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
+ αa
21
a
12
+ αa
22
a
13
+ αa
23
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Последний определитель равен нулю, так как его первая и вторая
строки совпадают.
8) Получим необходимое и достаточное условие равенства опреде-
лителя |A| нулю. Будем говорить, что строки определителя линейно
зависимы, если существуют числа α, β, γ, не все равные нулю, такие,
что
αa
1j
+ βa
2j
+ γa
3j
= 0, j = 1, 2, 3.
В дальнейшем будем для определенности считать, что α 6= 0.
Тогда
a
1j
= c
1
a
2j
+ c
2
a
3j
, j = 1, 2, 3, (4.3)
где c
1
= −β/α, c
2
= −γ/α. Говорят, что в этом случае первая строка
есть линейная комбинация второй и третьей строк.
Покажем, что определитель |A| равен нулю тогда и только тогда,
когда его строки линейно зависимы.
Пусть для строк определителя выполнено условие (4.3). Умножим
вторую строку определителя на −c
1
и прибавим к первой. Величина
определителя не изменится. Умножим третью строку на −c
2
и приба-
вим к первой строке преобразованного определителя. Вновь величина
определителя не изменится, но первая строк определителя, очевидно,
будет содержать только нулевые элементы и потому определитель бу-
дет равен нулю.
Пусть определитель |A| равен нулю. Рассмотрим все определи-
тели второго порядка, получающиеся из |A| вычеркиванием одного
столбца и одной строки, например,
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
.
Если не все элементы определителя |A| равны нулю (в такой си-
туации доказываемое утверждение выполняется тривиальным обра-
зом), то возможны два случая: 1) все эти определители второго по-
рядка равны нулю, 2) хотя бы один из них отличен от нуля.
30                          Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


доказательство, рассматривая первую и вторую строки. Используя
свойство 3), получим
               ¯                                      ¯
               ¯ a11 + αa21 a12 + αa22 a13 + αa23 ¯
               ¯                                      ¯
               ¯      a 21       a  22         a 23
                                                      ¯=
               ¯                                      ¯
               ¯      a31        a32           a33    ¯
                   ¯              ¯      ¯              ¯
                   ¯ a11 a12 a13 ¯       ¯ a21 a22 a23 ¯
                   ¯              ¯      ¯              ¯
                = ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ + α ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ .
                   ¯ a31 a32 a33 ¯       ¯ a31 a32 a33 ¯
Последний определитель равен нулю, так как его первая и вторая
строки совпадают.
    8) Получим необходимое и достаточное условие равенства опреде-
лителя |A| нулю. Будем говорить, что строки определителя линейно
зависимы, если существуют числа α, β, γ, не все равные нулю, такие,
что
                 αa1j + βa2j + γa3j = 0, j = 1, 2, 3.
    В дальнейшем будем для определенности считать, что α 6= 0.
Тогда
                   a1j = c1 a2j + c2 a3j , j = 1, 2, 3,        (4.3)
где c1 = −β/α, c2 = −γ/α. Говорят, что в этом случае первая строка
есть линейная комбинация второй и третьей строк.
    Покажем, что определитель |A| равен нулю тогда и только тогда,
когда его строки линейно зависимы.
    Пусть для строк определителя выполнено условие (4.3). Умножим
вторую строку определителя на −c1 и прибавим к первой. Величина
определителя не изменится. Умножим третью строку на −c 2 и приба-
вим к первой строке преобразованного определителя. Вновь величина
определителя не изменится, но первая строк определителя, очевидно,
будет содержать только нулевые элементы и потому определитель бу-
дет равен нулю.
    Пусть определитель |A| равен нулю. Рассмотрим все определи-
тели второго порядка, получающиеся из |A| вычеркиванием одного
столбца и одной строки, например,
                             ¯            ¯
                             ¯ a11 a12 ¯
                             ¯            ¯
                             ¯ a21 a22 ¯ .

   Если не все элементы определителя |A| равны нулю (в такой си-
туации доказываемое утверждение выполняется тривиальным обра-
зом), то возможны два случая: 1) все эти определители второго по-
рядка равны нулю, 2) хотя бы один из них отличен от нуля.

Страницы