Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
= a
11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 1 0
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ a
13
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 0 1
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Обозначив через A
1j
множители при соответствующих элементах пер-
вой строки определителя |A|, можем написать
|A| = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ a
13
A
13
. (4.4)
Преобразуем определители A
1j
. Умножим первую строку A
11
на a
21
и вычтем из второй, затем умножим первую строку на a
31
и вычтем из третьей. Получим в результате
A
11
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 a
22
a
23
0 a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Аналогично,
A
12
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 1 0
a
21
0 a
23
a
31
0 a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, A
13
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 0 1
a
21
a
22
0
a
31
a
32
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Определитель A
1j
называется алгебраическим дополнением элемен-
та a
1j
.
Определитель M
1j
второго порядка, получающийся из A
1j
вы-
черкиванием первой строки и j-того столбца, называется минором,
соответствующим элементу a
1j
определителя |A|.
Вообще, алгебраическое дополнение A
ij
элемента a
ij
определите-
ля |A| получается заменой в |A| элемента a
ij
единицей, всех осталь-
ных элементов i-той строки и j-того столбца нулями.
Минор M
ij
элемента a
ij
определителя |A| — определитель второго
порядка, получающийся из |A| вычеркиванием i-той строки и j-того
столбца.
Установим связь между алгебраическим дополнениями и минора-
ми. Меняя местами первый и второй столбец, получим, что
A
12
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 a
21
a
23
0 a
31
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (4.5)
Аналогично, выполняя две перестановки столбцов и потому не меняя
знака, получим, что
A
13
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
0 a
21
a
22
0 a
31
a
32
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (4.6)
32                                Глава 2. Введение в аналитическую геометрию

            ¯               ¯       ¯                ¯       ¯               ¯
            ¯ 1 0 0         ¯       ¯ 0 1 0          ¯       ¯ 0 0 1         ¯
            ¯               ¯       ¯                ¯       ¯               ¯
     = a11 ¯¯ a21 a22 a23   ¯ + a12 ¯ a21 a22 a23
                            ¯       ¯
                                                     ¯ + a13 ¯ a21 a22 a23
                                                     ¯       ¯
                                                                             ¯.
                                                                             ¯
            ¯ a31 a32 a33   ¯       ¯ a31 a32 a33    ¯       ¯ a31 a32 a33   ¯
Обозначив через A1j множители при соответствующих элементах пер-
вой строки определителя |A|, можем написать
                       |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 .                   (4.4)
   Преобразуем определители A1j . Умножим первую строку A11
на a21 и вычтем из второй, затем умножим первую строку на a31
и вычтем из третьей. Получим в результате
                              ¯            ¯
                              ¯1 0 0 ¯
                              ¯            ¯
                       A11 = ¯¯ 0 a22 a23 ¯¯ .
                              ¯ 0 a32 a33 ¯
Аналогично,
                        ¯             ¯             ¯            ¯
                        ¯ 0 1 0       ¯             ¯ 0 0 1¯
                        ¯             ¯             ¯            ¯
               A12   = ¯¯ a21 0 a23   ¯,
                                      ¯    A13   = ¯¯ a21 a22 0 ¯¯ .
                        ¯ a31 0 a33   ¯             ¯ a31 a32 0 ¯
Определитель A1j называется алгебраическим дополнением элемен-
та a1j .
    Определитель M1j второго порядка, получающийся из A1j вы-
черкиванием первой строки и j-того столбца, называется минором,
соответствующим элементу a1j определителя |A|.
    Вообще, алгебраическое дополнение Aij элемента aij определите-
ля |A| получается заменой в |A| элемента aij единицей, всех осталь-
ных элементов i-той строки и j-того столбца нулями.
    Минор Mij элемента aij определителя |A| — определитель второго
порядка, получающийся из |A| вычеркиванием i-той строки и j-того
столбца.
    Установим связь между алгебраическим дополнениями и минора-
ми. Меняя местами первый и второй столбец, получим, что
                               ¯            ¯
                               ¯1 0 0 ¯
                               ¯            ¯
                      A12 = − ¯¯ 0 a21 a23 ¯¯ .                (4.5)
                               ¯ 0 a31 a33 ¯
Аналогично, выполняя две перестановки столбцов и потому не меняя
знака, получим, что
                             ¯            ¯
                             ¯1 0 0 ¯
                             ¯            ¯
                      A13 = ¯¯ 0 a21 a22 ¯¯ .               (4.6)
                             ¯ 0 a31 a32 ¯

Страницы