Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Разлагая последний определитель по первой строке, найдем его значение:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
4 −3 −6
7 −6 −12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 ·
¯
¯
¯
¯
−3 −6
−6 −12
¯
¯
¯
¯
= 0.
Отметим в заключение, что на формулу (2.9) можно смотреть
теперь, как на разложение определителя по третьему столбцу.
10) Пусть i 6= k. Тогда
a
i1
A
k1
+ a
i2
A
k2
+ a
i2
A
k3
= 0. (4.10)
Действительно, выражение в левой части (4.10) можно интерпретиро-
вать, как разложение определителя по k-той строке, которая состоит
из элементов i-той строки. Определитель с двумя равными строками
равен нулю.
Соотношениям (4.7), (4.10) полезно придать общую форму
a
i1
A
k1
+ a
i2
A
k2
+ a
i2
A
k3
= |A|δ
ik
, i, k = 1, 2, 3, (4.11)
где
δ
ik
=
½
0, i 6= k,
1, i = k,
(4.12)
так называемый символ Кронекера.
§ 2. Векторная алгебра
1. В этом параграфе и до конца главы все числа — веществен-
ные. Рассматривается трехмерное евклидово пространство. Вводится
декартова система координат. Это означает следующее. Фиксиру-
ется некоторая точка пространства (в дальнйшем она всегда будет
обозначатся символом 0 (ноль)) и называется началом системы ко-
ординат. Задаются три попарно ортогональные прямые, проходящие
через точку 0. Задается единица длины и направление отсчета от
точки 0 на каждой прямой.
Положение точек на этих прямых будем определять вещественны-
ми числами x
1
, x
2
, x
3
(т. е. будем интерпретировать эти прямые как
вещественные оси). Будем называть их в дальнейшем осями коорди-
нат.
Понятно, что теперь положение каждой точки в пространстве вза-
имнооднозначно определяется заданием трех чисел x
1
, x
2
, x
3
, называ-
емых координатами точки (геометрический смысл координат пояс-
няется на рис. 2, a).
34                                Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


Разлагая последний определитель по первой строке, найдем его значение:
                        ¯             ¯
                        ¯1   0     0 ¯¯   ¯         ¯
                        ¯                 ¯−3 −6 ¯
                        ¯4 −3 −6 ¯ = 1 · ¯          ¯
                        ¯             ¯   ¯−6 −12¯ = 0.
                        ¯7 −6 −12¯


   Отметим в заключение, что на формулу (2.9) можно смотреть
теперь, как на разложение определителя по третьему столбцу.
   10) Пусть i 6= k. Тогда
                        ai1 Ak1 + ai2 Ak2 + ai2 Ak3 = 0.                 (4.10)
Действительно, выражение в левой части (4.10) можно интерпретиро-
вать, как разложение определителя по k-той строке, которая состоит
из элементов i-той строки. Определитель с двумя равными строками
равен нулю.
    Соотношениям (4.7), (4.10) полезно придать общую форму

         ai1 Ak1 + ai2 Ak2 + ai2 Ak3 = |A|δik ,        i, k = 1, 2, 3,   (4.11)
где                                   ½
                                          0, i 6= k,
                              δik =                                      (4.12)
                                          1, i = k,
так называемый символ Кронекера.

                         § 2. Векторная алгебра

    1. В этом параграфе и до конца главы все числа — веществен-
ные. Рассматривается трехмерное евклидово пространство. Вводится
декартова система координат. Это означает следующее. Фиксиру-
ется некоторая точка пространства (в дальнйшем она всегда будет
обозначатся символом 0 (ноль)) и называется началом системы ко-
ординат. Задаются три попарно ортогональные прямые, проходящие
через точку 0. Задается единица длины и направление отсчета от
точки 0 на каждой прямой.
    Положение точек на этих прямых будем определять вещественны-
ми числами x1 , x2 , x3 (т. е. будем интерпретировать эти прямые как
вещественные оси). Будем называть их в дальнейшем осями коорди-
нат.
    Понятно, что теперь положение каждой точки в пространстве вза-
имнооднозначно определяется заданием трех чисел x1 , x2 , x3 , называ-
емых координатами точки (геометрический смысл координат пояс-
няется на рис. 2, a).

Страницы