Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Определители второго и третьего порядков 33
Теперь, понятно, что достаточно научиться вычислять определи-
тель A
11
. Используя формулу (3.1), получим
A
11
=
¯
¯
¯
¯
a
22
a
23
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
= M
11
.
Вследствие (4.5), (4.6) будем иметь, что A
12
= −M
12
, A
13
= M
13
.
Формуле (4.4) можно придать вид
|A| = a
11
M
11
− a
12
M
12
+ a
13
M
13
.
Нетрудно сообразить, что справедливы общие формулы
|A| = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ a
i3
A
i3
, (4.7)
|A| = a
i1
(−1)
i+1
M
i1
+ a
i2
(−1)
i+2
M
i2
+ a
i3
(−1)
i+3
M
i3
, (4.8)
разложения определителя по i-той строке, где i = 1, 2, 3.
Можно написать и аналогичную формулу разложения определи-
теля по столбцу
|A| = a
1i
(−1)
i+1
M
1i
+ a
2i
(−1)
i+2
M
2i
+ a
3i
(−1)
i+3
M
3i
, (4.9)
где i = 1, 2, 3.
Подчеркнем, что знаки в формулах (4.8), (4.9) определяются ко-
личеством перестановок строк и столбцов в алгебраическом дополне-
нии A
ij
, необходимых для того, чтобы переместить единицу на пози-
цию первого элемента первой строки.
Пример. Вычислим определитель разложением по первому столбцу:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
4 5 6
7 8 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 1 ·
¯
¯
¯
¯
5 6
8 9
¯
¯
¯
¯
− 4 ·
¯
¯
¯
¯
2 3
8 9
¯
¯
¯
¯
+ 7 ·
¯
¯
¯
¯
2 3
5 6
¯
¯
¯
¯
= −3 − 4(−6) + 7(−3) = 0.
Тот же определитель вычислим разложением по второй строке:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
4 5 6
7 8 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −4
¯
¯
¯
¯
2 3
8 9
¯
¯
¯
¯
+ 5 ·
¯
¯
¯
¯
1 3
7 9
¯
¯
¯
¯
− 6 ·
¯
¯
¯
¯
1 2
7 8
¯
¯
¯
¯
= −4(−6) + 5(−12) − 6(−6) = 0.
Используем теперь свойство 7) для вычисления того же определителя. Умножим
сначала первый столбец на два и вычтем из второго столбца. Придем к равенству
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 2 3
4 5 6
7 8 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 3
4 −3 6
7 −6 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Затем умножим первый столбец на три и вычтем из третьего столбца. Получим
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 3
4 −3 6
7 −6 9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0
4 −3 −6
7 −6 −12
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
§ 1. Определители второго и третьего порядков                                         33


   Теперь, понятно, что достаточно научиться вычислять определи-
тель A11 . Используя формулу (3.1), получим
                             ¯         ¯
                             ¯ a22 a23 ¯
                      A11 = ¯¯         ¯ = M11 .
                               a32 a33 ¯
Вследствие (4.5), (4.6) будем иметь, что A12 = −M12 , A13 = M13 .
Формуле (4.4) можно придать вид
                      |A| = a11 M11 − a12 M12 + a13 M13 .
    Нетрудно сообразить, что справедливы общие формулы
                        |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 ,                         (4.7)
     |A| = ai1 (−1)i+1 Mi1 + ai2 (−1)i+2 Mi2 + ai3 (−1)i+3 Mi3 , (4.8)
разложения определителя по i-той строке, где i = 1, 2, 3.
    Можно написать и аналогичную формулу разложения определи-
теля по столбцу
       |A| = a1i (−1)i+1 M1i + a2i (−1)i+2 M2i + a3i (−1)i+3 M3i ,                  (4.9)
где i = 1, 2, 3.
    Подчеркнем, что знаки в формулах (4.8), (4.9) определяются ко-
личеством перестановок строк и столбцов в алгебраическом дополне-
нии Aij , необходимых для того, чтобы переместить единицу на пози-
цию первого элемента первой строки.
    Пример.   Вычислим определитель разложением по первому столбцу:
       ¯         ¯
       ¯1 2    3¯¯        ¯    ¯   ¯    ¯      ¯    ¯
       ¯                  ¯5 6 ¯   ¯2 3 ¯      ¯2 3 ¯
       ¯4 5    6¯¯ = 1 · ¯¯    ¯−4·¯    ¯      ¯    ¯
       ¯                    8 9¯   ¯8 9¯ + 7 · ¯5 6¯ = −3 − 4(−6) + 7(−3) = 0.
       ¯7 8    9¯

Тот же определитель вычислим разложением       по второй строке:
     ¯       ¯
     ¯1 2 3 ¯      ¯    ¯     ¯    ¯      ¯      ¯
     ¯       ¯     ¯    ¯     ¯    ¯      ¯    2¯¯
     ¯4 5 6¯ = −4 ¯2 3¯ + 5 · ¯1 3¯ − 6 · ¯1       = −4(−6) + 5(−12) − 6(−6) = 0.
     ¯       ¯     ¯8 9 ¯     ¯7 9 ¯      ¯7   8¯
     ¯7 8 9 ¯

    Используем теперь свойство 7) для вычисления того же определителя. Умножим
сначала первый столбец на два и вычтем из второго столбца. Придем к равенству
                              ¯      ¯ ¯          ¯
                              ¯1 2 3 ¯ ¯1     0 3¯¯
                              ¯      ¯ ¯
                              ¯4 5 6¯ = ¯4 −3 6¯ .
                              ¯      ¯ ¯          ¯
                              ¯7 8 9¯ ¯7 −6 9¯

Затем умножим первый столбец на три и вычтем из третьего столбца. Получим
                          ¯         ¯ ¯            ¯
                          ¯1   0  3 ¯ ¯1   0     0 ¯
                          ¯         ¯ ¯            ¯
                          ¯4 −3 6¯ = ¯4 −3 −6 ¯ .
                          ¯         ¯ ¯            ¯
                          ¯7 −6 9¯ ¯7 −6 −12¯

Страницы